Lemme 2Cohomologie de de Rham

Une fonction égale à sa dérivée, construite par une intégrale

Pour construire, au nœud suivant, une fonction de classe $C^\infty$ nulle sur une demi-droite sans être nulle, il faut une fonction qui croisse plus vite que tout polynôme. C'est l'exponentielle, construite en analyse réelle à partir de l'intégrale de Riemann (Exponentielle) ; ce nœud rappelle, avec les notations de ce graphe, ce qui en sera employé.

Pour $x > 0$ , on note $L(x) = \ln x = \int_1^x \frac{dt}{t}$ le logarithme (Logarithme), avec la convention $\int_1^x = -\int_x^1$ si $x < 1$ , et $E = \exp$ sa réciproque.

Énoncé

(i) $L$ est une bijection strictement croissante et dérivable de $]0, +\infty[$ sur ${\mathbb R}$ , avec $L'(x) = 1/x$ et $L(1) = 0$ .

(ii) Sa réciproque $E : \mathbb R \to \,]0, +\infty[$ est dérivable, avec $E' = E$ et $E(0) = 1$ ; elle est donc indéfiniment dérivable, et toutes ses dérivées successives sont égales à $E$ .

(iii) $E(y)\,E(-y) = 1$ pour tout réel $y$ .

(iv) Pour tout $y \geqslant 0$ et tout $m \in {\mathbb N}$ , $E(y) \geqslant \frac{y^m}{m!}.$

Démonstration

(i) C'est le nœud Logarithme, (i) et (iv).

(ii) C'est le nœud Exponentielle, (i) et (ii).

(iii) C'est le nœud Exponentielle, (iii), avec $a = y$ et $b = -y$ .

(iv) C'est le nœud Croissances comparées, (ii).

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Remarque

Ce nœud est un rappel : le logarithme, l'exponentielle et l'inégalité (iv) sont démontrés au chapitre « Exponentielle et logarithme » de l'analyse réelle, dont la cohomologie de de Rham descend. Numériquement, $L(2) \approx 0{,}6931$ et $E(1) = e \approx 2{,}7183$ . Le nœud suivant emploie surtout la positivité de $E$ et la fonction $\theta(x) = E(-1/x)$ , dont la régularité est démontrée en analyse réelle (Fonction plate en 0).

Remarque

L'inégalité (iv) est le point clé de cette démonstration de régularité, faite au nœud Fonction plate en 0 par Croissances comparées, (iv). Avec (iii), elle donne, pour $x > 0$ et $m$ fixé, $E(-1/x) = \frac{1}{E(1/x)} \leqslant m!\,x^m.$ Cette décroissance plus rapide que toute puissance de $x$ , quand $x$ tend vers $0$ , est exactement ce qu'exige une fonction $C^\infty$ nulle sur une demi-droite.

Repose sur

C'est un point de départ.

Sert à

Une fonction plateau sur chaque cube