Le logarithme, aire sous l'hyperbole

(i) Le théorème fondamental (Théorème fondamental), appliqué sur l'intervalle $]0, +\infty[$ à la fonction continue $t \mapsto 1/t$ et au point $a = 1$, montre que $\ln$ est dérivable, de dérivée $1/x$. Elle est donc continue (Développement à l'ordre 1). Sa dérivée est strictement positive, et $\ln$ est strictement croissante (Signe de la dérivée, (iii)). Enfin $\ln 1 = \int_1^1 \frac{dt}{t} = 0$ par convention.

(ii) Fixons $y > 0$, et posons $\varphi(x) = \ln(xy) - \ln x$ pour $x > 0$. La fonction $x \mapsto xy$ est dérivable de dérivée $y$, et la dérivée d'une composée (Dérivée d'une composée) donne $$\varphi'(x) = y \cdot \frac{1}{xy} - \frac1x = 0.$$ Sur l'intervalle $]0, +\infty[$, $\varphi$ est donc constante (Signe de la dérivée, (ii)), égale à $\varphi(1) = \ln y$ : c'est l'égalité $\ln(xy) = \ln x + \ln y$.

Avec $y = 1/x$, elle donne $\ln x + \ln(1/x) = \ln 1 = 0$. Enfin $\ln(x^0) = \ln 1 = 0$, et si $\ln(x^n) = n\ln x$, alors $\ln(x^{n+1}) = \ln(x^n x) = n \ln x + \ln x$, puisque $x^{n+1} = x^n x$ (Sommes, produits et puissances).

(iii) On a $\ln 2 > \ln 1 = 0$ par (i). Soit $A$ un réel. Par la propriété d'Archimède (Archimède), il existe $n \in \mathbb N$ tel que $n \ln 2 > |A|$, donc $n \ln 2 > A$ et $n\ln 2 > -A$. Pour $x \geqslant 2^n$, la croissance et (ii) donnent $\ln x \geqslant \ln(2^n) = n \ln 2 > A$ : c'est la première limite.

Pour $0 < x < 1/2^n$, on a $1/x > 2^n$, donc $\ln x = -\ln(1/x) < -n\ln 2 < -A$. Avec $\delta = 1/2^n$, c'est la seconde limite.

(iv) La stricte croissance rend $\ln$ injective. Son image est un intervalle, par le théorème des valeurs intermédiaires (Valeurs intermédiaires). Pour tout réel $y$, (iii) fournit $x_1$ et $x_2$ tels que $\ln x_1 < y < \ln x_2$ ; l'image contient ces deux valeurs, donc $y$. Elle est donc égale à $\mathbb R$.