Logarithme, exponentielle et puissances réelles

(i) La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0, +\infty[$, de dérivée $x \mapsto 1/x$. Elle est strictement croissante, vérifie $\ln 1 = 0$ et $\ln(xy) = \ln x + \ln y$, et c'est une bijection de $]0, +\infty[$ sur ${\mathbb R}$.

(ii) Sa réciproque $\exp : \mathbb R \to \,]0, +\infty[$ est strictement croissante et dérivable, de dérivée $\exp$ ; on a $\exp 0 = 1$ et $\exp(a + b) = \exp a \exp b$.

(iii) Pour $x > 0$ et $p$ réel, on pose $x^p = \exp(p \ln x)$, et $0^p = 0$ si $p > 0$. Pour $x, y > 0$ et $p, q$ réels, $$\begin{aligned} \ln(x^p) &= p \ln x, & x^{p+q} &= x^p x^q, \\ (x^p)^q &= x^{pq}, & (xy)^p &= x^p y^p, \end{aligned}$$ et $x^{-p} = 1/x^p$. Pour $n$ entier naturel, $x^n$ est le produit de $n$ facteurs égaux à $x$, et $x^{1/2} = \sqrt x$.

(iv) Sur $]0, +\infty[$, la fonction $x \mapsto x^p$ est dérivable, de dérivée $p\,x^{p-1}$. Pour $p > 0$, la fonction $t \mapsto t^p$ est continue et strictement croissante sur $[0, +\infty[$ ; c'est une bijection de $[0, +\infty[$ sur lui-même, de réciproque $t \mapsto t^{1/p}$. En particulier $t \mapsto |t|^p$ est continue sur $\mathbb R$.

(v) Prolongée par $(+\infty)^p = +\infty$, pour $p > 0$, elle envoie toute suite croissante de ${[0, +\infty]}$ de limite $\ell$ sur une suite croissante de limite $\ell^p$.

(vi) Pour $0 < p \leqslant s$, on a $t^s \leqslant t^p$ si $0 \leqslant t \leqslant 1$, et $t^p \leqslant t^s$ si $t \geqslant 1$.