Exposants conjugués et inégalité de Young

De $\frac1p + \frac1q = 1$ on tire $p + q = pq$, d'où $$(p - 1)(q - 1) = pq - p - q + 1 = 1,$$ et $(q - 1)p = q$.

Si $b = 0$, l'inégalité s'écrit $0 \leqslant a^p/p$, avec égalité si et seulement si $a = 0$, c'est-à-dire $a^p = 0 = b^q$.

Supposons $b > 0$, et posons, pour $a \geqslant 0$, $$\varphi(a) = \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} - ab.$$ Elle est continue sur $[0, +\infty[$ et dérivable sur $]0, +\infty[$, de dérivée $a^{p-1} - b$ (Puissances réelles, (iv)). Soit $a_0 = b^{q-1}$ ; comme $(q - 1)(p - 1) = 1$, on a $a_0^{p-1} = b$.

La fonction $a \mapsto a^{p-1}$ étant strictement croissante, $\varphi'$ est strictement négative sur $]0, a_0[$ et strictement positive sur $]a_0, +\infty[$. Par le nœud Signe de la dérivée, (iii), $\varphi$ est strictement décroissante sur $[0, a_0]$ et strictement croissante sur $[a_0, +\infty[$ : elle atteint en $a_0$, et en $a_0$ seulement, son minimum.

Ce minimum est nul. En effet $a_0^p = b^{(q-1)p} = b^q$ et $a_0 b = b^{q-1}b = b^q$, d'où $$\varphi(a_0) = b^q\Big(\frac1p + \frac1q - 1\Big) = 0.$$ Ainsi $\varphi \geqslant 0$, avec égalité exactement en $a = a_0$. Enfin $a = a_0$ équivaut à $a^p = a_0^p = b^q$, puisque $t \mapsto t^p$ est injective sur $[0, +\infty[$.