Inégalité de Hölder et cas d'égalité

(i) Le produit $fg$ est mesurable (Fonctions mesurables, (iii)). Pour $p = 1$ et $q = +\infty$, on a $|fg| \leqslant |f|\,\|g\|_\infty$ presque partout (Espaces Lᵖ, (ii)), et l'on intègre. Le cas $p = +\infty$ s'en déduit en échangeant les rôles.

Soit $1 < p < +\infty$, $A = \|f\|_p$ et $B = \|g\|_q$. Si $A = 0$, alors $f = 0$ presque partout, $fg$ aussi, et l'inégalité est vraie ; de même si $B = 0$.

Sinon, posons $F = |f|/A$ et $G = |g|/B$, de sorte que $\int F^p = \int G^q = 1$. L'inégalité de Young (Inégalité de Young) donne en tout point $$FG \leqslant \frac{F^p}p + \frac{G^q}q,$$ et, en intégrant, $\int FG \leqslant \frac1p + \frac1q = 1$, c'est-à-dire $\int |fg| \leqslant AB$.

(ii) L'égalité $\int |fg| = AB$ équivaut à $\int FG = 1$, donc à $$\int \Big(\frac{F^p}p + \frac{G^q}q - FG\Big) d\mu = 0.$$ La fonction intégrée est positive ; son intégrale est nulle si et seulement si elle est nulle presque partout (Intégrale positive, (iv)), c'est-à-dire, par le cas d'égalité de Young, si et seulement si $F^p = G^q$ presque partout. C'est la condition annoncée.

(iii) L'égalité s'écrit $\int (\|g\|_\infty - |g|)\,|f| \, d\mu = 0$. La fonction intégrée est positive presque partout ; elle est donc nulle presque partout, ce qui signifie exactement que $|g| = \|g\|_\infty$ presque partout là où $f \neq 0$. La réciproque est immédiate.