Théorème 2Espaces Lᵖ, Radon-Nikodym et dualité

Inégalité de Minkowski ; Lᵖ est un espace normé

Énoncé

Soit $1 \leqslant p \leqslant +\infty$ . Pour $f, g \in {\mathcal L^p}(\mu)$ , $\|f + g\|_p \leqslant \|f\|_p + \|g\|_p.$ C'est l'inégalité de Minkowski. Par conséquent $\|\cdot\|_p$ est une norme sur $L^p(\mu)$ , qui est un espace vectoriel normé.

Démonstration

Pour $p = 1$ , on intègre $|f + g| \leqslant |f| + |g|$ . Pour $p = +\infty$ , $|f + g| \leqslant \|f\|_\infty + \|g\|_\infty$ hors de la réunion de deux négligeables (Espaces Lᵖ, (ii)).

Soit $1 < p < +\infty$ , $q$ l'exposant conjugué, et $S = \int |f + g|^p$ , qui est fini (Espaces Lᵖ, (i)). Si $S = 0$ , il n'y a rien à démontrer. Sinon, écrivons $\begin{aligned} |f + g|^p &= |f + g|\,|f + g|^{p-1} \\ &\leqslant |f|\,h + |g|\,h, \end{aligned}$ où $h = |f + g|^{p-1}$ . Comme $(p - 1)q = p$ , on a $h^q = |f + g|^p$ : la fonction $h$ est dans $\mathcal L^q$ , et $\|h\|_q = S^{1/q}$ .

L'inégalité de Hölder (Inégalité de Hölder) donne $S \leqslant \big(\|f\|_p + \|g\|_p\big)\,S^{1/q}.$ En divisant par $S^{1/q} > 0$ , il vient $S^{1 - 1/q} = S^{1/p} \leqslant \|f\|_p + \|g\|_p$ , ce qui est l'inégalité.

Avec le point (iii) du nœud Espaces Lᵖ, les trois axiomes d'une norme sont vérifiés sur $L^p(\mu)$ .

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Remarque

Sur ${\mathbb R^2}$ , vu comme l'espace des fonctions sur $\{1, 2\}$ muni de la mesure de comptage, la norme $\|x\|_p = (|x_1|^p + |x_2|^p)^{1/p}$ redonne les distances $d_1$ et $d_2$ du nœud Espaces métriques, et $\|x\|_\infty$ la distance $d_\infty$ .

Les boules unités

\{\|x\|_p \leqslant 1\}

\mathbb R^2

pour

p = 1

(losange vert),

p = 2

(cercle bleu),

p = 4

(en gris) et

p = \infty

(carré rouge) grossissent avec

p

et sont toutes convexes. Pour

p = \frac12

, en pointillé, la courbe

\sqrt{|x_1|} + \sqrt{|x_2|} = 1

se creuse vers l'origine : les points

(1, 0)

(0, 1)

en font partie, mais pas leur milieu

(\frac12, \frac12)

Remarque

L'erreur la plus répandue est d'étendre la définition à $0 < p < 1$ en espérant une norme. Pour $p = \frac12$ , les vecteurs $x = (1, 0)$ et $y = (0, 1)$ ont pour « norme » $1$ , mais $\|x + y\|_{1/2} = \big(1 + 1\big)^2 = 4 > 2.$ La boule unité n'est plus convexe, et l'inégalité triangulaire tombe.

Remarque

L'inégalité porte le nom d'H. Minkowski, qui l'a rencontrée en géométrie des nombres, où la convexité des boules unités joue le premier rôle.

Repose sur

Inégalité de Hölder et cas d'égalité

Sert à

Riesz-Fischer pour tout p Parties denses de Lᵖ Une forme continue sur Lᵖ est différence de deux formes positives