Riesz-Fischer pour tout p ⋆

(i) C'est la démonstration du nœud Espaces L¹ et L², (ii) et (iii), où l'inégalité triangulaire est celle de Minkowski (Inégalité de Minkowski). Rappelons-la. Soit $(f_n)$ de Cauchy, dont on fixe des représentants. Posons $n_{-1} = -1$, et, pour $k \geqslant 0$, soit $n_k$ le plus petit entier $n > n_{k-1}$ tel que $\|f_m - f_{m'}\|_p \leqslant 2^{-k}$ pour $m, m' \geqslant n$.

Les sommes partielles $g_K$ de la série $g = \sum_k |f_{n_{k+1}} - f_{n_k}|$ vérifient $\|g_K\|_p \leqslant \sum_k 2^{-k} = 2$ par Minkowski. Comme $g_K^p$ croît vers $g^p$ (Puissances réelles, (v)), la convergence monotone donne $\int g^p \leqslant 2^p$.

Donc $g < +\infty$ presque partout, et la série $f_{n_0} + \sum_k (f_{n_{k+1}} - f_{n_k})$ converge absolument presque partout vers une fonction $f$, prise nulle sur le négligeable restant.

Hors de ce négligeable, $$|f - f_{n_k}| \leqslant \sum_{j \geqslant k} |f_{n_{j+1}} - f_{n_j}|,$$ dont la norme $p$ est au plus $2^{1-k}$ par le même argument. Ainsi $f \in \mathcal L^p$, $f_{n_k} \to f$ presque partout et dans $L^p$, et la suite de Cauchy $(f_n)$, qui a une suite extraite convergente, converge (Espaces complets, (i)).

Si enfin $f_n \to h$ dans $L^p$, la suite est de Cauchy, et la construction fournit une suite extraite qui converge presque partout vers une limite $f$ ; comme $f_{n_k}$ tend vers $h$ et vers $f$ dans $L^p$, on a $f = h$ presque partout.

(ii) Si $f_n \to f$ dans $L^\infty$, la réunion $N$ des ensembles $\{|f_n - f| > \|f_n - f\|_\infty\}$, négligeables (Espaces Lᵖ, (ii)), est négligeable, et $\sup_{X \setminus N} |f_n - f| \leqslant \|f_n - f\|_\infty \to 0$. La réciproque vient de ce que $\|f_n - f\|_\infty$ est au plus la borne supérieure de $|f_n - f|$ hors de $N$.

Soit $(f_n)$ de Cauchy dans $L^\infty$, dont on fixe des représentants. La réunion $N$ des ensembles $\{|f_n| > \|f_n\|_\infty\}$ et $\{|f_m - f_n| > \|f_m - f_n\|_\infty\}$, pour $m, n \in \mathbb N$, est négligeable ; hors de $N$, chaque $f_n$ est bornée, et la suite est uniformément de Cauchy.

En chaque point de $X \setminus N$, la suite $(f_n(x))$ est de Cauchy, donc converge (Complétude) vers un réel $f(x)$ ; on pose $f = 0$ sur $N$, et $f$ est mesurable (Fonctions mesurables, (ii)).

Pour $\varepsilon > 0$, soit $n_0$ tel que $|f_m - f_n| \leqslant \varepsilon$ sur $X \setminus N$ pour $m, n \geqslant n_0$. En faisant tendre $m$ vers l'infini, $|f - f_n| \leqslant \varepsilon$ sur $X \setminus N$ pour $n \geqslant n_0$. Ainsi $f$ est essentiellement bornée, et $\|f_n - f\|_\infty \to 0$.