Les espaces Lᵖ pour 1 ⩽ p ⩽ ∞

(i) La fonction $t \mapsto |t|^p$ est continue (Puissances réelles, (iv)), donc $|f|^p$ est mesurable (Fonctions mesurables, (iii)).

Pour $p$ fini, $|f + g| \leqslant 2\max(|f|, |g|)$, et la croissance de $t \mapsto t^p$ donne $$\begin{aligned} |f + g|^p &\leqslant 2^p\max(|f|^p, |g|^p) \\ &\leqslant 2^p\big(|f|^p + |g|^p\big). \end{aligned}$$ En intégrant, $f + g \in \mathcal L^p$ si $f$ et $g$ y sont.

Pour $p = +\infty$, si $|f| \leqslant M$ hors d'un négligeable $N$ et $|g| \leqslant M'$ hors d'un négligeable $N'$, alors $|f + g| \leqslant M + M'$ hors de $N \cup N'$, négligeable. La stabilité par multiplication par un scalaire est immédiate.

(ii) Pour tout $n$, le réel $\|f\|_\infty + \frac1{n+1}$ dépasse la borne inférieure : il existe $M < \|f\|_\infty + \frac1{n+1}$ tel que $|f| \leqslant M$ presque partout, et l'ensemble $\{|f| > \|f\|_\infty + \frac1{n+1}\}$, contenu dans $\{|f| > M\}$, est négligeable. Leur réunion $$\begin{aligned} &\{|f| > \|f\|_\infty\} \\ &\quad = \bigcup_n \Big\{|f| > \|f\|_\infty + \frac1{n+1}\Big\} \end{aligned}$$ l'est donc aussi (Mesures, (ii)). Aucun choix n'intervient : on ne désigne aucun $M$, on constate seulement que chaque ensemble est négligeable.

(iii) Pour $p$ fini, $|cf|^p = |c|^p|f|^p$, d'où $$\|cf\|_p = \big(|c|^p\big)^{1/p}\|f\|_p = |c|\,\|f\|_p$$ par les règles de calcul du nœud Puissances réelles, (iii), le cas $c = 0$ étant immédiat.

Puis $\|f\|_p = 0$ équivaut à $\int |f|^p = 0$, c'est-à-dire à $|f|^p = 0$ presque partout (Intégrale positive, (iv)).

Si $|f| \leqslant |g|$ presque partout, alors $|f|^p \leqslant |g|^p$ hors d'un négligeable $N$. Comme $|f|^p\mathbf 1_N$ est nulle presque partout, donc d'intégrale nulle (Intégrale positive, (iv)), l'additivité (Convergence monotone, (i)) donne $\int |f|^p = \int |f|^p\mathbf 1_{X \setminus N}$, et de même pour $g$ ; la croissance de l'intégrale (Intégrale positive, (ii)) donne $\int |f|^p \leqslant \int |g|^p$.

On conclut par la croissance de $t \mapsto t^{1/p}$, prolongée par $(+\infty)^{1/p} = +\infty$ (Puissances réelles, (iv) et (v)).

Pour $p = +\infty$ : $|cf| \leqslant |c|M$ presque partout si et seulement si $|f| \leqslant M$ presque partout, pour $c \neq 0$ ; $\|f\|_\infty = 0$ équivaut, par (ii), à $|f| \leqslant 0$ presque partout ; et tout $M$ qui majore $|g|$ presque partout majore $|f|$ presque partout.

(iv) Pour $p = 2$, $|f|^2 = f^2$ et la racine carrée est $t^{1/2}$ (Puissances réelles, (iii)) ; pour $p = 1$, $|f|^1 = |f|$.