Parties denses de Lᵖ ⋆

(i) Soit $f \in \mathcal L^p$ positive, et $(s_n)$ la suite croissante d'étagées positives de limite $f$ du nœud Fonctions étagées. Comme $0 \leqslant s_n \leqslant f$, on a $\{s_n \neq 0\} \subset \{f \geqslant 2^{-n}\}$, dont la mesure est au plus $2^{np}\int f^p$ par l'inégalité de Markov (Intégrale positive, (iii)) appliquée à $f^p$ : elle est finie.

Enfin $|f - s_n|^p \leqslant f^p$, intégrable, et $|f - s_n|^p \to 0$ en tout point : par convergence dominée (Convergence dominée, (i)), $\|f - s_n\|_p \to 0$.

Pour $f$ quelconque, on approche $f^+$ et $f^-$, et l'on conclut par l'inégalité de Minkowski (Inégalité de Minkowski).

(ii) Soit $f \in \mathcal L^\infty$ et $N = \{|f| > \|f\|_\infty\}$, négligeable (Espaces Lᵖ, (ii)). La fonction $g = f\mathbf 1_{X \setminus N}$ est égale à $f$ presque partout et bornée par $M = \|f\|_\infty$. Les étagées $s_n'$ et $s_n''$ associées à $g^+$ et à $g^-$ par le nœud Fonctions étagées les approchent uniformément, puisque ces fonctions sont bornées ; donc $\|g - (s_n' - s_n'')\|_\infty \to 0$.

(iii) Par définition de la mesure extérieure (Mesure de Lebesgue), il existe une suite d'intervalles $]a_k, b_k]$ qui recouvre $A$ et dont la longueur totale est au plus $\lambda(A) + \frac\varepsilon2$. Leur réunion $U$ est borélienne, contient $A$, et $\lambda(U) \leqslant \lambda(A) + \frac\varepsilon2$ par sous-additivité ; comme $\lambda(A)$ est fini, $\lambda(U \setminus A) \leqslant \frac\varepsilon2$.

Les réunions finies $E_N = \bigcup_{k < N} \,]a_k, b_k]$ croissent vers $U$, de mesure finie, donc $\lambda(U \setminus E_N) \to 0$ (Mesures, (iii)). Comme $E_N$ et $A$ sont contenus dans $U$, $$A \,\triangle\, E_N \subset (U \setminus A) \cup (U \setminus E_N),$$ de mesure $< \varepsilon$ pour $N$ grand.

Alors $\|\mathbf 1_A - \mathbf 1_{E_N}\|_p = \lambda(A \,\triangle\, E_N)^{1/p}$ est petit.

Les intervalles qui composent $E_N$ peuvent se chevaucher ; mais, en rangeant par ordre croissant les extrémités $c_0 < c_1 < \cdots < c_m$ de tous ces intervalles, $E_N$ est la réunion disjointe de ceux des intervalles $]c_{i-1}, c_i]$ qu'il contient, puisque chacun des $]a_k, b_k]$ est la réunion disjointe des $]c_{i-1}, c_i]$ compris entre $a_k$ et $b_k$.

L'indicatrice $\mathbf 1_{E_N}$ est donc une somme finie d'indicatrices d'intervalles $]a, b]$.

Pour un tel intervalle, l'indicatrice de $]a, b]$ est à distance au plus $(2\delta)^{1/p}$, dans $L^p$, de la fonction continue $\varphi_\delta$ qui vaut $1$ sur $[a + \delta, b]$, $0$ hors de $]a, b + \delta[$, et qui est affine entre ces deux segments, pour $0 < \delta < b - a$ : les deux fonctions, comprises entre $0$ et $1$, ne diffèrent que sur deux intervalles de longueur $\delta$.

Par Minkowski, toute combinaison linéaire finie d'indicatrices de parties de mesure finie, donc, par (i), tout élément de $L^p$, est limite de fonctions continues nulles hors d'un segment.