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Lemme 2Espaces Lᵖ, Radon-Nikodym et dualité

Une forme continue sur Lᵖ est différence de deux formes positives

Sur Lp(μ){L^p}(\mu), 1⩽p⩽+∞1 \leqslant p \leqslant +\infty, normé par ∥⋅∥p\|\cdot\|_p (Inégalité de Minkowski), on écrit f⩽gf \leqslant g si f⩽gf \leqslant g presque partout, ce qui ne dépend pas des représentants. Une forme linéaire ψ\psi sur Lp(μ)L^p(\mu) est positive si ψ(f)⩾0\psi(f) \geqslant 0 pour tout f⩾0f \geqslant 0.

Énoncé

Toute forme linéaire continue φ\varphi sur Lp(μ)L^p(\mu) est la différence φ=φ+−φ−\varphi = \varphi^+ - \varphi^- de deux formes linéaires continues positives, avec ∣∣∣φ±∣∣∣⩽∣∣∣φ∣∣∣|||\varphi^\pm||| \leqslant |||\varphi|||. Pour f⩾0f \geqslant 0, on peut prendre φ+(f)=sup⁡{φ(h):0⩽h⩽f}.\varphi^+(f) = \sup\{\varphi(h) : 0 \leqslant h \leqslant f\}.

Démonstration

Finitude. Si 0⩽h⩽f0 \leqslant h \leqslant f, alors ∥h∥p⩽∥f∥p\|h\|_p \leqslant \|f\|_p (Espaces Lᵖ, (iii)), et φ(h)⩽∣∣∣φ∣∣∣ ∥f∥p\varphi(h) \leqslant |||\varphi|||\,\|f\|_p (Opérateurs continus, (i)). Ainsi φ+(f)\varphi^+(f) est un réel, compris entre max⁡(0,φ(f))\max(0, \varphi(f)), valeurs prises en h=0h = 0 et h=fh = f, et ∣∣∣φ∣∣∣ ∥f∥p|||\varphi|||\,\|f\|_p.

Homogénéité. Pour c>0c > 0, h↦chh \mapsto ch est une bijection de {0⩽h⩽f}\{0 \leqslant h \leqslant f\} sur {0⩽h⩽cf}\{0 \leqslant h \leqslant cf\}, d'où φ+(cf)=c φ+(f)\varphi^+(cf) = c\,\varphi^+(f) ; et φ+(0)=0\varphi^+(0) = 0.

Additivité. Soient f1,f2⩾0f_1, f_2 \geqslant 0. Si 0⩽hi⩽fi0 \leqslant h_i \leqslant f_i, alors 0⩽h1+h2⩽f1+f20 \leqslant h_1 + h_2 \leqslant f_1 + f_2, d'où φ+(f1)+φ+(f2)⩽φ+(f1+f2)\varphi^+(f_1) + \varphi^+(f_2) \leqslant \varphi^+(f_1 + f_2).

Réciproquement, si 0⩽h⩽f1+f20 \leqslant h \leqslant f_1 + f_2, posons h1=min⁡(h,f1)h_1 = \min(h, f_1) et h2=h−h1h_2 = h - h_1. Alors 0⩽h1⩽f10 \leqslant h_1 \leqslant f_1, et 0⩽h2⩽f20 \leqslant h_2 \leqslant f_2 : là où h⩽f1h \leqslant f_1, h2=0h_2 = 0, et ailleurs h2=h−f1⩽f2h_2 = h - f_1 \leqslant f_2. Donc φ(h)=φ(h1)+φ(h2)⩽φ+(f1)+φ+(f2)\varphi(h) = \varphi(h_1) + \varphi(h_2) \leqslant \varphi^+(f_1) + \varphi^+(f_2).

Prolongement. Pour ff quelconque, posons φ+(f)=φ+(f+)−φ+(f−)\varphi^+(f) = \varphi^+(f^+) - \varphi^+(f^-). Si f=a−bf = a - b avec a,b⩾0a, b \geqslant 0, alors f++b=f−+af^+ + b = f^- + a, et l'additivité donne φ+(f)=φ+(a)−φ+(b)\varphi^+(f) = \varphi^+(a) - \varphi^+(b). Comme f+g=(f++g+)−(f−+g−)f + g = (f^+ + g^+) - (f^- + g^-), φ+\varphi^+ est additive ; elle commute aux multiplications par c>0c > 0, et par −1-1, qui échange f+f^+ et f−f^- : elle est linéaire.

Continuité. Pour tout ff, ∣φ+(f)∣⩽max⁡(φ+(f+),φ+(f−))⩽∣∣∣φ∣∣∣ ∥f∥p|\varphi^+(f)| \leqslant \max\big(\varphi^+(f^+), \varphi^+(f^-)\big) \leqslant |||\varphi|||\,\|f\|_p, puisque ∥f±∥p⩽∥f∥p\|f^\pm\|_p \leqslant \|f\|_p.

Partie négative. Soit φ−=φ+−φ\varphi^- = \varphi^+ - \varphi, linéaire et continue. Pour f⩾0f \geqslant 0, φ−(f)⩾0\varphi^-(f) \geqslant 0, puisque φ+(f)⩾φ(f)\varphi^+(f) \geqslant \varphi(f).

Enfin, pour f⩾0f \geqslant 0, le changement h′=f−hh' = f - h donne φ−(f)=sup⁡0⩽h⩽fφ(h−f)=sup⁡0⩽h′⩽f(−φ)(h′),\begin{aligned} \varphi^-(f) &= \sup_{0 \leqslant h \leqslant f}\varphi(h - f) \\ &= \sup_{0 \leqslant h' \leqslant f}(-\varphi)(h'), \end{aligned} c'est-à-dire φ−=(−φ)+\varphi^- = (-\varphi)^+, et la borne de continuité vaut aussi pour φ−\varphi^-.

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Remarque

Le lemme dit que la positivité, propriété d'ordre, suffit à décrire toutes les formes continues : il ramène l'étude du dual à celle des formes positives, qui donnent des mesures. C'est le même mouvement qu'au théorème de Riesz-Markov, où les formes positives sur les fonctions continues sont des intégrales.

Repose sur

Inégalité de Minkowski ; Lᵖ est un espace normé

Sert à

Dual des espaces Lᵖ pour 1 ⩽ p < ∞
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