ChapitreAnalyse fonctionnelle

Théorème de représentation de Riesz-Markov ⋆

Sur un espace métrique compact $K$, toute forme linéaire positive $\Lambda$ sur l'espace $C(K)$ des fonctions continues est l'intégrale contre une unique mesure borélienne finie, qui est régulière. La distance fournit les fonctions d'Urysohn et les partitions de l'unité ; la forme mesure les ouverts par les fonctions continues qu'ils contiennent, puis le théorème de Carathéodory prolonge cette mesure aux boréliens, et un découpage de chaque fonction en tranches horizontales montre que $\Lambda$ est bien l'intégrale.

L'évaluation en un point donne une mesure de Dirac, et l'intégrale de Riemann sur $[0, 1]$ redonne la mesure de Lebesgue. La version localement compacte du théorème, qui demande le lemme d'Urysohn sans distance, est seulement décrite.