Proposition 1Théorème de Riesz-Markov

Formes linéaires positives sur C(K)

Soit $K$ un espace métrique compact non vide, et $C(K)$ l'espace vectoriel des fonctions continues de $K$ dans ${\mathbb R}$ . Une telle fonction est bornée et atteint ses bornes (Compacts de ℝ, (iii)) ; on munit $C(K)$ de la norme uniforme $\|f\|_\infty = \max_K |f|$ , qui en fait un espace vectoriel normé (Espaces normés).

Une forme linéaire $\Lambda$ sur $C(K)$ est une forme linéaire positive si $\Lambda f \geqslant 0$ pour toute $f \geqslant 0$ .

Énoncé

(ii) Si $\mu$ est une mesure borélienne finie sur $K$ , toute $f \in C(K)$ est intégrable pour $\mu$ , et $f \mapsto \int f \, d\mu$ est une forme linéaire positive. Pour $a \in K$ et la mesure de Dirac $\delta_a$ , restreinte aux boréliens, $\int f \, d\delta_a = f(a)$ .

(iii) Pour $K = [0, 1]$ , l'intégrale de Riemann $f \mapsto \int_0^1 f(x)\,dx$ est une forme linéaire positive sur $C([0, 1])$ .

Démonstration

(i) Si $f \leqslant g$ , $\Lambda g - \Lambda f = \Lambda(g - f) \geqslant 0$ . Comme $-\|f\|_\infty \leqslant f \leqslant \|f\|_\infty$ , la croissance donne $-\|f\|_\infty\Lambda(1) \leqslant \Lambda f \leqslant \|f\|_\infty\Lambda(1)$ .

Par linéarité, $|\Lambda f - \Lambda g| \leqslant \Lambda(1)\|f - g\|_\infty$ : $\Lambda$ est lipschitzienne, donc continue (Topologie d'une distance, (iv)). La borne $\Lambda(1)$ est atteinte en $f = 1$ , de norme $1$ .

(ii) Une fonction continue est bornée, par $\|f\|_\infty$ , et borélienne (Fonctions d'Urysohn, (v)) ; comme $\mu(K)$ est fini, $\int |f| \, d\mu \leqslant \|f\|_\infty\mu(K)$ . La linéarité et la positivité sont celles de l'intégrale (Fonctions intégrables, (i)).

Pour $\delta_a$ , la fonction $f$ est égale à la constante $f(a)$ hors de l'ensemble $\{f \neq f(a)\}$ , qui est $\delta_a$ -négligeable, d'où $\int f \, d\delta_a = f(a)$ (Fonctions intégrables, (iii)).

(iii) Une fonction continue sur le segment $[0, 1]$ , compact (Borel-Lebesgue), y est uniformément continue par le théorème de Heine (Théorème de Heine), dont la démonstration par le nombre de Lebesgue ne fait aucun choix ; elle est donc intégrable au sens de Riemann (Fonctions continues, (i)), et l'intégrale est linéaire et croissante (Propriétés de l'intégrale, (i) et (ii)).

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Remarque

La positivité entraîne la continuité, ce qui n'a rien d'évident : en dimension infinie, une forme linéaire n'est pas continue en général (Opérateurs continus). L'ordre de $C(K)$ fait ici le travail de la norme.

Remarque

Toute forme linéaire continue sur $C(K)$ est la différence de deux formes positives, par l'argument du nœud Formes positives sur Lᵖ, qui s'applique mot pour mot. Le théorème de ce chapitre identifie donc le dual de $C(K)$ aux différences de mesures boréliennes finies ; on ne développe pas ici la théorie des mesures signées qui rendrait cette identification exacte.

Repose sur

Distance à une partie, fonctions d'Urysohn, partitions de l'unité Espaces vectoriels normés et espaces de Banach

Sert à

La mesure des ouverts définie par une forme positive