Lemme 1Théorème de Riesz-Markov

Distance à une partie, fonctions d'Urysohn, partitions de l'unité

Soit $(K, d)$ un espace métrique. Pour une partie non vide $A$ de $K$ et $x \in K$ , la distance de $x$ à $A$ est $d(x, A) = \inf_{a \in A} d(x, a).$

La tribu borélienne $\mathcal B(K)$ est la tribu engendrée par les ouverts de $K$ (Tribus, (ii)) ; ses éléments sont les boréliens de $K$ , et une mesure borélienne sur $K$ est une mesure définie sur $\mathcal B(K)$ .

Énoncé

(i) La fonction $x \mapsto d(x, A)$ est $1$ -lipschitzienne, donc continue, et $d(x, A) = 0$ si et seulement si $x$ est adhérent à $A$ . Pour $F$ fermé non vide, $d(x, F) = 0$ équivaut à $x \in F$ .

(ii) Urysohn. Si $F$ est fermé, $U$ ouvert et $F \subset U$ , il existe une fonction continue $f : K \to [0, 1]$ égale à $1$ sur $F$ et nulle hors de $U$ .

(iii) Si $F$ est fermé non vide, les fonctions continues $f_n(x) = \max\big(0, 1 - n\,d(x, F)\big)$ , à valeurs dans $[0, 1]$ , décroissent et convergent simplement vers $\mathbf 1_F$ .

(iv) Partitions de l'unité. Supposons $K$ compact. Si $F$ est fermé et contenu dans une réunion d'ouverts $U_1 \cup \cdots \cup U_N$ , il existe des fonctions continues $h_1, \dots, h_N : K \to [0, 1]$ telles que $h_i$ soit nulle hors de $U_i$ , $\sum_i h_i \leqslant 1$ sur $K$ , et $\sum_i h_i = 1$ sur $F$ .

(v) Toute fonction continue $f : K \to {\mathbb R}$ est mesurable pour $\mathcal B(K)$ . Les fermés de $K$ forment un π-système qui engendre $\mathcal B(K)$ .

Démonstration

(i) Pour $a \in A$ , $d(x, A) \leqslant d(x, a) \leqslant d(x, y) + d(y, a)$ ; en passant à la borne inférieure en $a$ , $d(x, A) \leqslant d(x, y) + d(y, A)$ , et l'on échange $x$ et $y$ . La continuité suit (Topologie d'une distance, (iv)).

On a $d(x, A) = 0$ si et seulement si toute boule $B(x, r)$ rencontre $A$ , c'est-à-dire (Topologie d'une distance, (ii)) si et seulement si $x$ est adhérent à $A$ . Un fermé est égal à son adhérence (Intérieur, adhérence, (i)).

(ii) Si $F$ est vide, $f = 0$ convient ; si $U = K$ , $f = 1$ . Sinon, posons $f(x) = \frac{d(x, K \setminus U)}{d(x, K \setminus U) + d(x, F)}.$ Le dénominateur ne s'annule pas : par (i), il faudrait $x \in F$ et $x \in K \setminus U$ , fermés disjoints. La fonction $f$ est continue, à valeurs dans $[0, 1]$ , égale à $1$ sur $F$ et nulle sur $K \setminus U$ .

(iii) Chaque $f_n$ est continue par (i). Pour $x \in F$ , $f_n(x) = 1$ . Pour $x \notin F$ , $d(x, F) > 0$ par (i), et $f_n(x) = 0$ dès que $n\,d(x, F) \geqslant 1$ , $\mathbb R$ étant archimédien. La décroissance est celle de $n \mapsto 1 - n\,d(x, F)$ .

(iv) Si $F$ est vide, on prend des $h_i$ nulles. Sinon, posons $g_i = d(\cdot, K \setminus U_i)$ si $U_i \neq K$ , et $g_i = 1$ si $U_i = K$ : par (i), $g_i$ est continue, positive, et strictement positive exactement sur $U_i$ .

La somme $G = g_1 + \cdots + g_N$ est continue et strictement positive sur $F$ , chaque point de $F$ étant dans l'un des $U_i$ .

Le fermé $F$ est compact (Parties compactes, (i)) et non vide : $G$ y atteint un minimum $\delta > 0$ (Compacts de ℝ, (iii)). Posons $h_i = \frac{g_i}{\max(G, \delta)}.$ Ces fonctions sont continues et positives ; leur somme $G/\max(G, \delta)$ est au plus $1$ , égale à $1$ sur $F$ où $G \geqslant \delta$ ; chaque $h_i$ est donc au plus $1$ , et nulle hors de $U_i$ .

(v) Pour tout réel $a$ , $\{f > a\}$ est un ouvert, donc un borélien. Une intersection finie de fermés est fermée ; la tribu engendrée par les fermés contient leurs complémentaires, les ouverts, donc $\mathcal B(K)$ , et elle y est contenue.

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Remarque

Aucun choix n'intervient : la distance fournit d'un seul coup toutes les fonctions dont on a besoin, sans désigner de rayon ni de point. Dans un espace topologique séparé quelconque, même compact, il n'y a pas de distance, et le lemme d'Urysohn demande une construction beaucoup plus délicate, indexée par les rationnels dyadiques, qui exploite la normalité de l'espace.

Sur

K = [0, 1]

, le fermé

F = [0{,}2 ; 0{,}8]

(trait rouge) est recouvert par les trois ouverts

U_1 = \,]0{,}1 ; 0{,}45[

U_2 = \,]0{,}3 ; 0{,}7[

U_3 = \,]0{,}55 ; 0{,}9[

. Les fonctions

h_1

(bleu),

h_2

(vert) et

h_3

(gris) s'annulent hors de leur ouvert, et leur somme, en rouge, vaut

1

sur tout

F

; elle redescend vers

0

au-delà, où

G

passe sous son minimum

\delta = 0{,}1

sur

F

, atteint aux deux extrémités de

F

Repose sur

C'est un point de départ.

Sert à

Formes linéaires positives sur C(K)