La mesure des ouverts définie par une forme positive

(i) Pour $U = \varnothing$, seule $f = 0$ convient. Pour $U = K$, la borne supérieure est atteinte en $f = 1$, par croissance de $\Lambda$ (Formes positives, (i)). Si $U \subset V$, toute $f \leqslant \mathbf 1_U$ vérifie $f \leqslant \mathbf 1_V$.

(ii) Si $f \leqslant \mathbf 1_U$ et $g \leqslant \mathbf 1_V$, alors $f + g \leqslant \mathbf 1_{U \cup V}$, puisque $U$ et $V$ sont disjoints ; en passant aux bornes supérieures (Sommes dans [0, +∞], (ii)), $\mu(U) + \mu(V) \leqslant \mu(U \cup V)$.

Réciproquement, soit $h \in C(K)$ avec $0 \leqslant h \leqslant \mathbf 1_{U \cup V}$.

La fonction $h\mathbf 1_U$ est continue : elle est égale à $h$ au voisinage de tout point de l'ouvert $U$, nulle au voisinage de tout point de l'ouvert $V$, et, en un point $x$ hors de $U \cup V$, on a $h(x) = 0$ et $0 \leqslant h\mathbf 1_U \leqslant h$, continue en $x$. De même pour $h\mathbf 1_V$. Ainsi $h = h\mathbf 1_U + h\mathbf 1_V$, et $\Lambda h \leqslant \mu(U) + \mu(V)$.

(iii) Soit $U = \bigcup_n U_n$, $f \in C(K)$ avec $0 \leqslant f \leqslant \mathbf 1_U$, et $\varepsilon > 0$. L'ensemble $F = \{f \geqslant \varepsilon\}$ est fermé, donc compact (Parties compactes, (i)), et contenu dans $U$ puisque $f$ est nulle hors de $U$. Les ouverts $U_n$ le recouvrent ; il existe donc $N$ tel que $F \subset U_0 \cup \cdots \cup U_N$.

Soient $h_0, \dots, h_N$ les fonctions du nœud Fonctions d'Urysohn, (iv), et $f_\varepsilon = \max(f - \varepsilon, 0)$, continue, nulle hors de $F$. Comme $\sum_i h_i = 1$ sur $F$, $$f_\varepsilon = \sum_{i \leqslant N} h_i f_\varepsilon,$$ et chaque $h_i f_\varepsilon$ est continue, comprise entre $0$ et $\mathbf 1_{U_i}$. Donc $\Lambda f_\varepsilon \leqslant \sum_{i \leqslant N} \mu(U_i) \leqslant \sum_n \mu(U_n)$.

Enfin $f \leqslant f_\varepsilon + \varepsilon$, d'où $\Lambda f \leqslant \Lambda f_\varepsilon + \varepsilon\Lambda(1)$. En faisant tendre $\varepsilon$ vers $0$ puis en passant à la borne supérieure sur $f$, on obtient l'inégalité.