Construction de la mesure, régularité ⋆

(i) On a $\mu^*(\varnothing) = 0$, $\mu^*$ est croissante, et $\mu^*(U) = \mu(U)$ pour $U$ ouvert, par croissance de $\mu$ sur les ouverts (Mesure des ouverts, (i)).

Soit $E = \bigcup_n E_n$ et $\varepsilon > 0$. Choisissons, pour chaque $n$, un ouvert $U_n \supset E_n$ tel que $\mu(U_n) \leqslant \mu^*(E_n) + \varepsilon 2^{-n-1}$. L'ouvert $\bigcup_n U_n$ contient $E$, et la sous-additivité sur les ouverts (Mesure des ouverts, (iii)) donne $$\mu^*(E) \leqslant \sum_n \mu(U_n) \leqslant \sum_n \mu^*(E_n) + \varepsilon.$$

(ii) Soit $U$ un ouvert. Il s'agit de montrer $\mu^*(E) \geqslant \mu^*(E \cap U) + \mu^*(E \setminus U)$ pour toute partie $E$, l'autre inégalité étant la sous-additivité.

Cas où $E = V$ est ouvert. Soit $\varepsilon > 0$ et $f \in C(K)$, $0 \leqslant f \leqslant \mathbf 1_{V \cap U}$, avec $\Lambda f \geqslant \mu(V \cap U) - \varepsilon$. L'ensemble $W = V \setminus \{f \geqslant \varepsilon\}$ est ouvert, et il contient $V \setminus U$, où $f$ est nulle. Soit $g \in C(K)$, $0 \leqslant g \leqslant \mathbf 1_W$, avec $\Lambda g \geqslant \mu(W) - \varepsilon$.

La fonction $f_\varepsilon = \max(f - \varepsilon, 0)$ n'est non nulle que là où $f > \varepsilon$, et $g$ là où $f < \varepsilon$. En chaque point l'une des deux est nulle, l'autre est au plus $1$, et toutes deux sont nulles hors de $V$ : $f_\varepsilon + g \leqslant \mathbf 1_V$.

Comme $f \leqslant f_\varepsilon + \varepsilon$, $$\begin{aligned} \mu(V) &\geqslant \Lambda f_\varepsilon + \Lambda g \\ &\geqslant \Lambda f - \varepsilon\Lambda(1) + \mu(W) - \varepsilon \\ &\geqslant \mu(V \cap U) + \mu^*(V \setminus U) - c\,\varepsilon, \end{aligned}$$ avec $c = 2 + \Lambda(1)$. On fait tendre $\varepsilon$ vers $0$.

Cas général. Pour $\varepsilon > 0$, il existe un ouvert $V \supset E$ tel que $\mu(V) \leqslant \mu^*(E) + \varepsilon$, et, par le cas précédent et la croissance de $\mu^*$, $$\begin{aligned} \mu^*(E) + \varepsilon &\geqslant \mu^*(V \cap U) + \mu^*(V \setminus U) \\ &\geqslant \mu^*(E \cap U) + \mu^*(E \setminus U). \end{aligned}$$

Par le théorème de Carathéodory (Carathéodory), les parties $\mu^*$-mesurables forment une tribu, sur laquelle $\mu^*$ est une mesure ; elle contient les ouverts, donc $\mathcal B(K)$. Enfin $\mu(K) = \Lambda(1)$ (Mesure des ouverts, (i)).

(iii) La première égalité est la définition de $\mu^*$. Pour la seconde, soit $E$ un borélien. Pour tout ouvert $U \supset K \setminus E$, le fermé $F = K \setminus U$ est contenu dans $E$, et $\mu(F) = \mu(K) - \mu(U)$, la mesure étant finie. Donc $$\begin{aligned} \sup_{F \subset E} \mu(F) &= \mu(K) - \inf_{U \supset K \setminus E} \mu(U) \\ &= \mu(K) - \mu(K \setminus E) = \mu(E). \end{aligned}$$