Théorème 2Théorème de Riesz-Markov

Théorème de représentation de Riesz-Markov ⋆

⋆ Axiome du choix

L'existence hérite du choix dénombrable employé au nœud Mesure de Riesz. L'unicité n'utilise aucun choix ; la régularité de toute mesure borélienne finie, déduite de l'existence, hérite du choix dénombrable.

Énoncé

Soit $K$ un espace métrique compact non vide et $\Lambda$ une forme linéaire positive sur $C(K)$ .

(i) Il existe une unique mesure borélienne finie $\mu$ sur $K$ telle que $\Lambda f = \int_K f \, d\mu \quad \text{pour tout } f \in C(K).$ C'est la mesure du nœud Mesure de Riesz ; elle est régulière, et $\mu(K) = \Lambda(1)$ .

(ii) Toute mesure borélienne finie sur $K$ est régulière, et $\mu \mapsto \big(f \mapsto \int f \, d\mu\big)$ est une bijection des mesures boréliennes finies sur $K$ sur les formes linéaires positives sur $C(K)$ .

Démonstration

(i) Existence. Soit $\mu$ la mesure du nœud Mesure de Riesz. Il suffit de montrer que $\Lambda f \leqslant \int f \, d\mu$ pour toute $f \in C(K)$ : appliquée à $-f$ , l'inégalité donne l'égalité.

Pour $a > 0$ et $b$ réel, $\Lambda(af + b) = a\Lambda f + b\Lambda(1)$ et $\int (af + b) \, d\mu = a\int f \, d\mu + b\,\mu(K)$ , avec $\mu(K) = \Lambda(1)$ . Si $f$ est constante, l'égalité est donc vraie ; sinon, $f$ étant bornée, on peut choisir $a$ et $b$ pour que $0 \leqslant af + b \leqslant 1$ . On suppose donc $0 \leqslant f \leqslant 1$ .

Soit $n \geqslant 1$ . Pour $1 \leqslant k \leqslant n$ , posons $f_k = \min\big(\max(nf - k + 1, 0), 1\big).$ Ces fonctions sont continues, à valeurs dans $[0, 1]$ , et $f = \frac1n\sum_{k=1}^n f_k$ . En effet, en un point où $nf = m + r$ , avec $m$ entier et $0 \leqslant r < 1$ , ou $nf = n$ , les $f_k$ valent $1$ pour $k \leqslant m$ , $r$ pour $k = m + 1$ , et $0$ au-delà.

Pour

f(x) = 16x^2(1 - x)^2

n = 4

, l'aire sous

f

est découpée en quatre tranches horizontales de hauteur

\frac14

, alternativement vertes et grises ; la tranche

k

a pour hauteur

\frac14 f_k

. Sous l'axe, l'ouvert

U_k = \{f > \frac{k-1}4\}

, en bleu, contient le fermé

F_k = \{f \geqslant \frac k4\}

, en rouge, qui contient lui-même

U_{k+1}

: ce sont ces emboîtements qui comparent

\Lambda f_k

\int f_{k-1}\,d\mu

La fonction $f_k$ est nulle sur $\{f \leqslant \frac{k-1}n\}$ , si bien que $f_k \leqslant \mathbf 1_{U_k}$ avec $U_k = \{f > \frac{k-1}n\}$ , ouvert, et $\Lambda f_k \leqslant \mu(U_k)$ . Elle vaut $1$ sur le fermé $F_k = \{f \geqslant \frac kn\}$ , d'où $\int f_k \, d\mu \geqslant \mu(F_k)$ .

Pour $k \geqslant 2$ , $U_k \subset F_{k-1}$ , donc $\Lambda f_k \leqslant \mu(F_{k-1}) \leqslant \int f_{k-1} \, d\mu$ ; pour $k = 1$ , $\Lambda f_1 \leqslant \mu(K)$ . En sommant, $\begin{aligned} \Lambda f &= \frac1n\sum_{k=1}^n \Lambda f_k \\ &\leqslant \frac{\mu(K)}n + \frac1n\sum_{k=1}^{n-1}\int f_k \, d\mu \\ &\leqslant \frac{\mu(K)}n + \int f \, d\mu. \end{aligned}$ On fait tendre $n$ vers l'infini.

Unicité. Soient $\mu$ et $\mu'$ deux mesures boréliennes finies qui donnent les mêmes intégrales aux fonctions continues. Pour un fermé $F$ non vide, les fonctions $f_n$ du nœud Fonctions d'Urysohn, (iii), comprises entre $0$ et $1$ , convergent simplement vers $\mathbf 1_F$ ; par convergence dominée, les mesures étant finies, $\mu(F) = \lim \int f_n \, d\mu = \mu'(F)$ . C'est vrai aussi de $F = \varnothing$ .

Les fermés forment un π-système qui engendre $\mathcal B(K)$ (Fonctions d'Urysohn, (v)), et $K$ en est un, de mesures égales et finies : le lemme de Dynkin (Classes monotones, (ii)), avec la suite constante égale à $K$ , donne $\mu = \mu'$ .

(ii) Si $\mu'$ est une mesure borélienne finie, $\Lambda' f = \int f \, d\mu'$ est une forme linéaire positive (Formes positives, (ii)). La mesure régulière que lui associe (i) donne les mêmes intégrales que $\mu'$ aux fonctions continues ; par l'unicité, elle est égale à $\mu'$ , qui est donc régulière. L'application de l'énoncé est injective par l'unicité, et surjective par l'existence.

□

Remarque

Pour l'évaluation $\Lambda f = f(a)$ , la mesure est la mesure de Dirac $\delta_a$ , restreinte aux boréliens : elle représente $\Lambda$ (Formes positives, (ii)), et l'unicité conclut. Toute la masse est en $a$ , et la forme ne voit d'une fonction que sa valeur en ce point.

Remarque

Pour $K = [0, 1]$ et l'intégrale de Riemann, la mesure obtenue est la mesure de Lebesgue, restreinte aux boréliens de $[0, 1]$ .

Ces boréliens sont exactement les boréliens de $\mathbb R$ contenus dans $[0, 1]$ . D'une part, par le point (iv) du nœud Tribus appliqué à l'inclusion de $[0, 1]$ dans $\mathbb R$ , les $B \subset \mathbb R$ tels que $B \cap [0, 1] \in \mathcal B([0, 1])$ forment une tribu qui contient les ouverts.

D'autre part, les boréliens de $\mathbb R$ contenus dans $[0, 1]$ forment une tribu sur $[0, 1]$ , qui contient ses ouverts, traces d'ouverts de $\mathbb R$ (Topologie d'une distance, (iii)).

La restriction de $\lambda$ est donc une mesure borélienne finie sur $[0, 1]$ , et $\int_0^1 f(x)\,dx = \int_{[0, 1]} f \, d\lambda$ pour $f$ continue (Riemann et Lebesgue). Par l'unicité, c'est la mesure de Riesz de l'intégrale de Riemann : la mesure de Lebesgue sort de la seule intégrale des fonctions continues.

Remarque

Sur un espace localement compact séparé $X$ , le théorème représente les formes linéaires positives sur l'espace des fonctions continues à support compact par des mesures boréliennes, régulières en un sens plus faible. Ce théorème est admis ici : il faut le lemme d'Urysohn dans un espace sans distance, qui se démontre par une construction indexée par les rationnels dyadiques, des partitions de l'unité à supports compacts, et une régularité intérieure qui ne vaut plus en général que pour les ouverts et les parties de mesure finie.

Remarque

Même sur un compact, la métrisabilité n'est pas une commodité : sur l'espace compact des ordinaux $[0, \omega_1]$ , la mesure de Dieudonné, qui vaut $1$ sur les boréliens contenant un fermé non borné d'ordinaux dénombrables et $0$ sur les autres, est une mesure borélienne finie qui n'est pas régulière. Ce fait est admis ici. Sa σ-additivité repose sur la régularité de $\omega_1$ , c'est-à-dire sur le fait qu'une réunion dénombrable d'ordinaux dénombrables est dénombrable, qui demande le choix dénombrable (⋆) : dans le modèle de Feferman et Lévy, $\omega_1$ est la borne supérieure d'une suite d'ordinaux dénombrables.

Remarque

F. Riesz a démontré le théorème en 1909 pour $C([a, b])$ , en représentant les formes linéaires continues par des intégrales de Stieltjes (« Sur les opérations fonctionnelles linéaires », C. R. Acad. Sci. Paris 149, p. 974-977). A. Markov l'a étendu en 1938 à des espaces non compacts (« On mean values and exterior densities », Mat. Sbornik 4 (46), p. 165-191), et S. Kakutani en 1941 aux compacts séparés quelconques (« Concrete representation of abstract (M)-spaces », Ann. of Math. 42, p. 994-1024).

Repose sur

Construction de la mesure, régularité

Sert à

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