Dual des espaces Lᵖ pour 1 ⩽ p < ∞ ⋆

(i) Le produit $fg$ est intégrable par l'inégalité de Hölder (Inégalité de Hölder), qui donne $|\Phi(g)(f)| \leqslant \|g\|_q\|f\|_p$ ; l'intégrale ne dépend pas des représentants, et elle est linéaire en $f$.

Notons $\sigma = \mathbf 1_{\{g > 0\}} - \mathbf 1_{\{g < 0\}}$, de sorte que $\sigma g = |g|$. Pour $1 < p < +\infty$, soit $f = \sigma|g|^{q-1}$. Comme $(q - 1)p = q$, on a $\|f\|_p^p = \int |g|^q$, et $\Phi(g)(f) = \int |g|^q = \|g\|_q^q$. Si $g \neq 0$, $$\frac{\Phi(g)(f)}{\|f\|_p} = \|g\|_q^{\,q - q/p} = \|g\|_q.$$

Pour $p = 1$, $\mu$ σ-finie et $0 < \varepsilon < \|g\|_\infty$, l'ensemble $A = \{|g| > \|g\|_\infty - \varepsilon\}$ n'est pas négligeable. Si $(X_n)$ est une suite croissante de parties de mesure finie de réunion $X$, l'un des $A \cap X_n$ est de mesure strictement positive et finie, par continuité croissante. Avec $f = \sigma\mathbf 1_{A \cap X_n}$, on a $\Phi(g)(f) \geqslant (\|g\|_\infty - \varepsilon)\|f\|_1$.

(ii) $\Phi$ est linéaire, isométrique par (i), donc injective. Reste la surjectivité. Soit $\varphi \in L^p(\mu)'$.

Cas d'une mesure finie et d'une forme positive. Supposons $\mu$ finie et $\varphi$ positive. Pour $A \in \mathcal A$, $\mathbf 1_A \in \mathcal L^p$ ; posons $\nu(A) = \varphi(\mathbf 1_A)$. On a $\nu \geqslant 0$, $\nu(\varnothing) = 0$, et $\nu$ est additive par linéarité.

Si les $A_k$ sont disjoints, de réunion $A$, et $B_n = A_0 \cup \cdots \cup A_{n-1}$, alors $$\|\mathbf 1_A - \mathbf 1_{B_n}\|_p = \mu(A \setminus B_n)^{1/p} \to 0,$$ par continuité de $\mu$, finie, et parce que $p$ est fini. La continuité de $\varphi$ donne $\nu(A) = \lim \nu(B_n) = \sum_k \nu(A_k)$ : $\nu$ est une mesure finie.

Si $\mu(A) = 0$, $\mathbf 1_A = 0$ dans $L^p$ et $\nu(A) = 0$ : $\nu \ll \mu$.

Le nœud Lemme de von Neumann donne $g \geqslant 0$ mesurable, finie, avec $\nu = g\cdot\mu$. Par linéarité, $\varphi(s) = \int sg \, d\mu$ pour toute étagée $s$.

Si $f \in \mathcal L^p$ est positive, et $s_n$ les étagées croissantes de limite $f$ (Fonctions étagées), alors $s_n \to f$ dans $L^p$ par convergence dominée, puisque $|f - s_n|^p \leqslant f^p$ ; donc $\varphi(s_n) \to \varphi(f)$. Et $\int s_n g \to \int fg$ par convergence monotone. Ainsi $\varphi(f) = \int fg \, d\mu$ pour $f \geqslant 0$, puis pour tout $f = f^+ - f^-$.

Montrons que $g \in \mathcal L^q$, avec $\|g\|_q \leqslant |||\varphi|||$. Si $p = 1$ et $M > |||\varphi|||$, l'ensemble $A = \{g > M\}$ vérifie $$\begin{aligned} M\mu(A) &\leqslant \int_A g \, d\mu = \varphi(\mathbf 1_A) \\ &\leqslant |||\varphi|||\,\mu(A), \end{aligned}$$ donc $\mu(A) = 0$, et $\|g\|_\infty \leqslant |||\varphi|||$.

Si $p > 1$, soit $f_n = g^{q-1}\mathbf 1_{\{g \leqslant n\}}$, bornée, donc dans $\mathcal L^p$ puisque $\mu$ est finie, et $I_n = \int_{\{g \leqslant n\}} g^q \, d\mu$, fini. Comme $(q - 1)p = q$, $$I_n = \varphi(f_n) \leqslant |||\varphi|||\,I_n^{1/p},$$ d'où $I_n^{1/q} \leqslant |||\varphi|||$ si $I_n > 0$. La convergence monotone donne $\|g\|_q \leqslant |||\varphi|||$.

Mesure finie, forme quelconque. Par le nœud Formes positives sur Lᵖ, $\varphi = \varphi^+ - \varphi^-$, différence de formes continues positives, représentées par $g^+_\varphi$ et $g^-_\varphi$ dans $\mathcal L^q$ ; alors $\varphi = \Phi(g^+_\varphi - g^-_\varphi)$.

Mesure σ-finie. Fixons une suite croissante $(X_n)$ de parties de mesure finie, de réunion $X$, et posons, comme au nœud Radon-Nikodym, $$w = \sum_n \frac{2^{-n-1}\,\mathbf 1_{X_n}}{1 + \mu(X_n)},$$ fonction mesurable à valeurs dans $]0, 1]$, d'intégrale au plus $1$. La mesure $\mu' = w\cdot\mu$ est finie, et a les mêmes négligeables que $\mu$.

L'application $T(f) = w^{-1/p}f$ est une bijection linéaire isométrique de $L^p(\mu)$ sur $L^p(\mu')$, puisque $$\int |w^{-1/p}f|^p w \, d\mu = \int |f|^p \, d\mu$$ (Absolue continuité, (i)).

La forme $\varphi \circ T^{-1}$ est continue sur $L^p(\mu')$ ; par le cas fini, elle s'écrit $h \mapsto \int hG \, d\mu'$, avec $G \in \mathcal L^q(\mu')$. Pour $f \in L^p(\mu)$, $$\varphi(f) = \int w^{-1/p}fG\,w \, d\mu = \int fg \, d\mu,$$ avec $g = G\,w^{1/q}$, puisque $1 - \frac1p = \frac1q$.

Si $p = 1$, $g = G$, essentiellement bornée pour $\mu$ comme pour $\mu'$ ; si $p > 1$, $\int |g|^q \, d\mu = \int |G|^q \, d\mu'$ est fini. Ainsi $\varphi = \Phi(g)$.

(iii) Le choix n'intervient, dans la démonstration de (ii), que par les deux applications du nœud Lemme de von Neumann, faites dans le cas d'une mesure finie, à des mesures définies sur la tribu $\mathcal A$. Si elle est engendrée par une suite de parties, ce nœud s'applique sous sa forme sans choix, (ii), et le reste de la démonstration ne choisit rien.