Théorème de Hahn-Banach ⋆

(i) Un pas. Soit $x_0 \notin G$. Pour $y, y' \in G$, $$\begin{aligned} g(y) + g(y') &= g(y + y') \leqslant q(y + y') \\ &\leqslant q(y + x_0) + q(y' - x_0), \end{aligned}$$ donc $$\begin{aligned} &g(y') - q(y' - x_0) \\ &\quad \leqslant q(y + x_0) - g(y). \end{aligned}$$ La borne supérieure $\alpha$ du premier membre en $y'$ est donc majorée par la borne inférieure du second en $y$, et l'on choisit $c$ entre les deux.

On pose $h(y + tx_0) = g(y) + tc$ sur $G + \mathbb R x_0$. Pour $t > 0$, $$\begin{aligned} h(y + tx_0) &= t\big(g(y/t) + c\big) \\ &\leqslant t\,q(y/t + x_0) = q(y + tx_0) ; \end{aligned}$$ pour $t < 0$, on utilise de même l'autre inégalité.

Zorn. Considérons l'ensemble des couples $(K, k)$ où $K \supset G$ est un sous-espace et $k$ une forme linéaire sur $K$ qui prolonge $g$ et vérifie $k \leqslant q$, ordonné par prolongement.

Toute chaîne non vide a pour majorant la forme définie sur la réunion des sous-espaces, qui est un sous-espace parce que la famille est totalement ordonnée ; pour la chaîne vide, $(G, g)$ convient. Le lemme de Zorn (Lemme de Zorn) donne un élément maximal $(K, f)$, et $K = E$, sans quoi le pas précédent le prolongerait.

(ii) Si $g$ est continue sur $G$, de norme $c$, on applique (i) avec $q(x) = c\|x\|$ ; alors $f(x) \leqslant c\|x\|$ et $-f(x) = f(-x) \leqslant c\|x\|$. Ainsi $|f(x)| \leqslant c\|x\|$ : $f$ est continue, de norme au plus $c$ (Opérateurs continus, (i)), et au moins $c$ puisqu'elle prolonge $g$.

(iii) Sur $G = \mathbb R x$, $g(tx) = t\|x\|$ est de norme $1$ ; on la prolonge par (ii). L'égalité $\|x\| = \max f(x)$ en découle, puisque $f(x) \leqslant |||f|||\,\|x\|$. Si $x \neq y$, une forme $f$ telle que $f(x - y) = \|x - y\| \neq 0$ les sépare.