Théorème 5Espaces Lᵖ, Radon-Nikodym et dualité

Théorème de Lebesgue-Radon-Nikodym ⋆

⋆ Axiome du choix

La démonstration fixe une suite de parties de mesure finie, pour $\mu$ et pour $\nu$ : la σ-finitude en affirme l'existence, et une seule existence invoquée n'est pas un usage du choix. Elle applique ensuite une seule fois le nœud Lemme de von Neumann, (i), dont elle hérite le choix dénombrable. Le point (iv) n'utilise aucun choix : il applique le même nœud sous sa forme sans choix, (ii).

Soient $\mu$ et $\nu$ deux mesures sur $(X, \mathcal A)$ . Une décomposition de Lebesgue de $\nu$ par rapport à $\mu$ est une écriture $\nu = \nu_a + \nu_s$ , où $\nu_a$ et $\nu_s$ sont des mesures, $\nu_a \ll \mu$ et $\nu_s \perp \mu$ .

Énoncé

Soient $\mu$ et $\nu$ deux mesures σ-finies sur $(X, \mathcal A)$ .

(i) Décomposition de Lebesgue. $\nu$ a une unique décomposition de Lebesgue $\nu = \nu_a + \nu_s$ par rapport à $\mu$ , et il existe une fonction mesurable $f : X \to [0, +\infty[$ , unique $\mu$ -presque partout, telle que $\nu_a = f\cdot\mu$ .

(ii) Radon-Nikodym. $\nu \ll \mu$ si et seulement s'il existe une fonction mesurable $f : X \to [0, +\infty[$ telle que $\nu = f\cdot\mu$ . Elle est unique presque partout, et c'est la dérivée de Radon-Nikodym $\frac{d\nu}{d\mu}$ ; pour $g$ mesurable positive, $\int g \, d\nu = \int g\,\frac{d\nu}{d\mu} \, d\mu.$

(iii) Règle de la chaîne. Si $\pi$ est une troisième mesure σ-finie et si $\pi \ll \nu \ll \mu$ , alors $\frac{d\pi}{d\mu} = \frac{d\pi}{d\nu}\,\frac{d\nu}{d\mu} \quad \mu\text{-presque partout.}$ En particulier, si $\mu \ll \nu \ll \mu$ , alors $\frac{d\mu}{d\nu}\,\frac{d\nu}{d\mu} = 1$ $\mu$ -presque partout.

(iv) Sans choix. Si la tribu $\mathcal A$ est engendrée par une suite de parties, (i), (ii) et (iii) se démontrent sans aucun choix.

Démonstration

(i) Un poids. Fixons des suites croissantes $(X_n)$ et $(Y_n)$ de parties de mesures finies pour $\mu$ et pour $\nu$ , de réunion $X$ .

Les $Z_n = X_n \cap Y_n$ croissent, et leur réunion est $X$ , puisqu'un point de $X_m$ et de $Y_k$ est dans $Z_{\max(m, k)}$ . Posons $w = \sum_n \frac{2^{-n-1}\,\mathbf 1_{Z_n}}{1 + \mu(Z_n) + \nu(Z_n)}.$ C'est une fonction mesurable, à valeurs dans $]0, 1]$ , et $\int w \, d\mu \leqslant \sum_n 2^{-n-1} = 1$ , de même pour $\nu$ .

Les mesures $\mu' = w\cdot\mu$ et $\nu' = w\cdot\nu$ sont donc finies, et elles ont les mêmes négligeables que $\mu$ et $\nu$ : comme $w > 0$ , $\int_A w \, d\mu = 0$ équivaut à $\mu(A) = 0$ (Intégrale positive, (iv)). Par composition des densités (Absolue continuité, (ii)), $\frac1w\cdot\nu' = \nu$ .

Existence. Le nœud Lemme de von Neumann fournit $S$ avec $\mu'(S) = 0$ , donc $\mu(S) = 0$ , et $f'$ telle que $\nu'(A \setminus S) = \int_A f' \, d\mu'$ pour tout $A$ .

Autrement dit, $\mathbf 1_{X \setminus S}\cdot\nu' = f'\cdot\mu'$ , et la composition des densités donne $\begin{aligned} \mathbf 1_{X \setminus S}\cdot\nu &= \tfrac1w\cdot(\mathbf 1_{X \setminus S}\cdot\nu') \\ &= \tfrac1w\cdot\big(f'\cdot(w\cdot\mu)\big) = f'\cdot\mu. \end{aligned}$

Posons $\nu_a = \nu(\cdot \setminus S) = f'\cdot\mu$ , absolument continue par rapport à $\mu$ (Absolue continuité, (iii)), et $\nu_s = \nu(\cdot \cap S)$ , étrangère à $\mu$ puisque $\mu(S) = 0$ et $\nu_s(X \setminus S) = 0$ . On prend $f = f'$ .

Unicité. Soit $\nu = \nu_a' + \nu_s'$ une autre décomposition, $S'$ un ensemble tel que $\mu(S') = 0$ et $\nu_s'(X \setminus S') = 0$ , et $T = S \cup S'$ , négligeable pour $\mu$ , donc pour $\nu_a$ et $\nu_a'$ .

Pour $A \in \mathcal A$ , on a $\nu_s(A \setminus T) = 0$ et $\nu_a(A \cap T) = 0$ , d'où $\nu_s(A) = \nu_s(A \cap T) = \nu(A \cap T),$ et de même $\nu_s'(A) = \nu(A \cap T)$ : $\nu_s = \nu_s'$ . De même $\nu_a(A) = \nu(A \setminus T) = \nu_a'(A)$ .

Si enfin $\nu_a = g\cdot\mu$ , alors $f\cdot\mu = g\cdot\mu$ et $f = g$ presque partout, $\mu$ étant σ-finie (Absolue continuité, (iv)).

(ii) Une mesure $f\cdot\mu$ est absolument continue par rapport à $\mu$ . Réciproquement, si $\nu \ll \mu$ , la partie $\nu_s$ de (i) vérifie $\nu_s \leqslant \nu$ , donc $\nu_s \ll \mu$ , et $\nu_s \perp \mu$ : elle est nulle (Absolue continuité, (iii)), et $\nu = f\cdot\mu$ . L'unicité est celle de (i), et la formule d'intégration est le point (i) du nœud Absolue continuité.

(iii) Avec $g = \frac{d\pi}{d\nu}$ et $f = \frac{d\nu}{d\mu}$ , la composition des densités donne $\pi = g\cdot(f\cdot\mu) = (gf)\cdot\mu$ , et l'unicité de (ii) conclut. Pour $\pi = \mu$ , on a $\frac{d\mu}{d\mu} = 1$ .

(iv) Le seul appel au choix est celui que fait le nœud Lemme de von Neumann, appliqué aux mesures finies $\mu'$ et $\nu'$ , définies sur la même tribu $\mathcal A$ . Si elle est engendrée par une suite de parties, ce nœud s'applique sous sa forme sans choix, (ii). Les démonstrations de (ii) et (iii) n'invoquent (i) qu'un nombre fini de fois, et ne choisissent rien d'autre.

□

Remarque

Soit $U$ uniforme sur $[0, 1]$ et $Y = \min(U, \frac12)$ . Sa loi $\nu$ vérifie $\nu(]a, b]) = \lambda(]a, b] \cap [0, \frac12[) + \frac12\mathbf 1_{]a, b]}(\frac12)$ : c'est une mesure mixte, ni à densité ni discrète. Sa décomposition de Lebesgue par rapport à $\lambda$ est $\nu_a = \mathbf 1_{[0, 1/2[}\cdot\lambda, \qquad \nu_s = \tfrac12\,\delta_{1/2}.$

La fonction de répartition

F(x) = \nu(]{-\infty}, x])

Y = \min(U, \frac12)

, en trait plein, monte avec la pente

1

jusqu'à

\frac12

, puis saute de

\frac12

1

. Elle est la somme de

F_a

, en bleu, primitive de la densité

\mathbf 1_{[0, 1/2[}

, et de

F_s

, en rouge, qui ne varie que par un saut, au point

\frac12

que la mesure de Lebesgue ne voit pas.

La partie absolument continue a pour densité $1$ sur $[0, \frac12[$ , et la partie étrangère est portée par le point $\frac12$ , que la mesure de Lebesgue ne charge pas. On retrouve l'ensemble $S = \{\frac12\}$ et la densité calculés au nœud Lemme de von Neumann.

Remarque

Pour une loi à densité, la dérivée de Radon-Nikodym est la densité. Si $U$ est uniforme sur $[0, 1]$ , la loi $\nu$ de $U^2$ vérifie, pour $0 \leqslant a \leqslant b \leqslant 1$ , $\begin{aligned} \nu(]a, b]) &= \lambda\big(]\sqrt a, \sqrt b]\big) \\ &= \sqrt b - \sqrt a = \int_a^b \frac{dt}{2\sqrt t}. \end{aligned}$

Soit $f(t) = \frac1{2\sqrt t}$ sur $]0, 1]$ et $f = 0$ ailleurs. Pour tous réels $a < b$ , les deux mesures $\nu$ et $f\cdot\lambda$ donnent à $]a, b]$ la valeur $G(b) - G(a)$ , où $G(t) = \sqrt{\min(\max(t, 0), 1)}$ est la fonction de répartition de $U^2$ , puisque toutes deux sont portées par $]0, 1]$ .

Elles coïncident donc sur le π-système formé du vide et des $]a, b]$ , avec des masses finies égales sur les $]{-n}, n]$ , et le lemme de Dynkin (Classes monotones, (ii)) donne $\nu = f\cdot\lambda$ : $\frac{d\nu}{d\lambda} = f$ .

La densité n'est pas bornée près de $0$ , et pourtant la masse qui s'y trouve est petite : $U^2$ tombe souvent près de $0$ , mais l'intervalle $]0, \varepsilon]$ ne reçoit que la masse $\sqrt\varepsilon$ . Une densité grande sur un intervalle court peut porter peu de masse.

Remarque

La règle de la chaîne se lit sur les lois exponentielles. Si $\nu$ a pour densité $e^{-x}$ et $\pi$ pour densité $2e^{-2x}$ sur $[0, +\infty[$ , alors $\frac{d\pi}{d\nu}(x) = 2e^{-x}$ , et le produit $2e^{-x} \cdot e^{-x} = 2e^{-2x}$ redonne bien $\frac{d\pi}{d\lambda}$ . La loi $\pi$ tombe plus tôt que $\nu$ : le rapport $2e^{-x}$ vaut $2$ en $0$ et tend vers $0$ .

Remarque

L'hypothèse de σ-finitude est indispensable. Sur $[0, 1]$ muni des boréliens, soit $\mu$ la mesure de comptage : seul le vide est $\mu$ -négligeable, si bien que $\lambda \ll \mu$ . Si l'on avait $\lambda = f\cdot\mu$ , alors, pour tout $x$ , $0 = \lambda(\{x\}) = f(x)$ , et $\lambda = 0$ : absurde. La mesure de comptage d'un ensemble non dénombrable n'est pas σ-finie.

Remarque

Le théorème porte les noms de J. Radon, qui l'a établi en 1913 pour les fonctions d'ensemble sur $\mathbb R^n$ (« Theorie und Anwendungen der absolut additiven Mengenfunktionen », Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien 122, p. 1295-1438), et d'O. Nikodym, qui l'a étendu aux espaces mesurés abstraits en 1930 (« Sur une généralisation des intégrales de M. J. Radon », Fund. Math. 15, p. 131-179).

Remarque

En probabilités, le théorème donne une autre construction de l'espérance conditionnelle sachant une sous-tribu $\mathcal G$ (Espérance conditionnelle). Pour une variable $X$ intégrable et positive, c'est la dérivée de Radon-Nikodym de la mesure $A \mapsto E[X\mathbf 1_A]$ par rapport à $P$ , ces deux mesures étant restreintes à $\mathcal G$ ; le cas d'une variable intégrable quelconque s'en déduit en écrivant $X = X^+ - X^-$ .

Repose sur

Décomposition de Lebesgue pour des mesures finies (von Neumann)

Sert à

Dual des espaces Lᵖ pour 1 ⩽ p < ∞