Espérance conditionnelle ⋆

(i) $L^2(\mathcal G)$ est complet par Riesz-Fischer (Espaces L¹ et L², (ii)) appliqué à $(\Omega, \mathcal G, P)$, cet espace s'identifiant isométriquement à $L^2(\mathcal G)$, comme on le voit en (v) sans rien choisir ; une suite de $L^2(\mathcal G)$ qui converge dans $L^2(\mathcal A)$ y est de Cauchy, donc converge dans $L^2(\mathcal G)$ vers la même limite : le sous-espace est fermé.

La projection $Y$ est caractérisée par $E[(X - Y)Z] = 0$ pour tout $Z \in L^2(\mathcal G)$ (Espaces de Hilbert, (iii)). Il suffit de le vérifier pour les indicatrices $\mathbf 1_G$, $G \in \mathcal G$ : par linéarité, cela vaut pour les variables étagées $\mathcal G$-mesurables, qui sont denses dans $L^2(\mathcal G)$ par l'approximation du nœud Fonctions étagées et la convergence dominée.

(ii) La linéarité est celle d'une projection. Si $X \geqslant 0$ et $G = \{Y < 0\} \in \mathcal G$, alors $E[Y\mathbf 1_G] = E[X\mathbf 1_G] \geqslant 0$, d'où $Y\mathbf 1_G = 0$ presque sûrement. Avec $G = \Omega$, $E[Y] = E[X]$.

Appliquée à $X^+$ et $X^-$, la positivité donne $|E[X \mid \mathcal G]| \leqslant E[|X| \mid \mathcal G]$, d'où la contraction dans $L^1$. Les variables bornées sont denses dans $L^1$, par troncature et convergence dominée, et elles sont dans $L^2$ ; une application linéaire contractante se prolonge par continuité à $L^1$, qui est complet. Le prolongement prend ses valeurs dans $L^1(\mathcal G)$, sous-espace de $L^1$ formé des classes contenant une variable $\mathcal G$-mesurable intégrable, qui est fermé dans $L^1$ par l'argument de (i) appliqué à $L^1$. La caractérisation passe à la limite : si des variables bornées $X_n$ tendent vers $X$ dans $L^1$, les $Y_n = E[X_n \mid \mathcal G]$ tendent vers le prolongement $Y$, et $E[X_n\mathbf 1_G] = E[Y_n\mathbf 1_G]$ donne $E[X\mathbf 1_G] = E[Y\mathbf 1_G]$, puisque $\big|E[(X_n - X)\mathbf 1_G]\big| \leqslant \|X_n - X\|_1$ et $\big|E[(Y_n - Y)\mathbf 1_G]\big| \leqslant \|Y_n - Y\|_1$.

Unicité. Si $Y, Y' \in L^1(\mathcal G)$ vérifient $E[Y\mathbf 1_G] = E[Y'\mathbf 1_G]$ pour tout $G \in \mathcal G$, l'événement $G = \{Y > Y'\}$, pris pour des représentants $\mathcal G$-mesurables, est dans $\mathcal G$, et $E[(Y - Y')\mathbf 1_G] = 0$ avec $(Y - Y')\mathbf 1_G \geqslant 0$ : donc $(Y - Y')^+ = (Y - Y')\mathbf 1_G$ est nulle presque sûrement (Intégrale positive, (iv)), et de même $(Y' - Y)^+$. Ainsi $Y = Y'$ : la propriété caractérise le prolongement.

(iii) Pour $G \in \mathcal G \subset \mathcal H$, $$\begin{aligned} E\big[E[X \mid \mathcal H]\mathbf 1_G\big] &= E[X\mathbf 1_G] \\ &= E\big[E[X \mid \mathcal G]\mathbf 1_G\big]. \end{aligned}$$

(iv) Pour $Z = \mathbf 1_{G'}$, $$\begin{aligned} E[\mathbf 1_{G'}X\mathbf 1_G] &= E[X\mathbf 1_{G \cap G'}] \\ &= E\big[\mathbf 1_{G'}E[X \mid \mathcal G]\mathbf 1_G\big] ; \end{aligned}$$ on étend par linéarité aux $Z$ étagées, puis aux $Z$ bornées par limite uniforme.

Si $X$ est indépendante de $\mathcal G$, $E[X\mathbf 1_G] = E[X]P(G) = E\big[E[X]\mathbf 1_G\big]$ (Espérance, variance, (iv)).

(v) Soit $\mathcal G$ engendrée par une suite d'événements. Le nœud Espaces L¹ et L², (v), appliqué à $(\Omega, \mathcal G, P)$, $P$ étant restreinte à $\mathcal G$, et avec $X_n = \Omega$, montre sans choix que les espaces $L^1$ et $L^2$ de cet espace probabilisé sont complets et possèdent des suites denses.

Envoyer la classe d'une variable $\mathcal G$-mesurable dans cet espace sur sa classe dans $L^2(\mathcal A)$ est une application linéaire isométrique, d'image $L^2(\mathcal G)$ ; elle est injective, puisqu'une variable $\mathcal G$-mesurable $V$ nulle presque sûrement est nulle hors de l'événement $\{V \neq 0\}$, qui est dans $\mathcal G$ et de probabilité nulle. Ainsi $L^2(\mathcal G)$, muni de la distance induite, est complet et possède une suite dense. L'espace $L^2(\mathcal A)$ n'est employé ici que comme espace muni d'un produit scalaire, sans sa complétude, qui demanderait le choix : le second cas du nœud Espaces de Hilbert, (iv), fournit sans choix le projeté de toute $X \in L^2$ sur $L^2(\mathcal G)$, et montre que ce sous-espace est fermé. La caractérisation de (i), et les démonstrations de (iii) et (iv), ne choisissent rien.

Pour (ii), soit $X$ intégrable, dont on fixe un représentant, et ${X_n = \max\big(-n, \min(X, n)\big)}$ ses troncatures, variables bornées désignées. La contraction donne $$\begin{aligned} &\big\|E[X_n \mid \mathcal G] - E[X_m \mid \mathcal G]\big\|_1 \\ &\quad \leqslant \|X_n - X_m\|_1, \end{aligned}$$ qui tend vers $0$ par convergence dominée : la suite est de Cauchy dans $L^1(\Omega, \mathcal G, P)$, complet sans choix par ce qui précède, et identifié à $L^1(\mathcal G)$ par le même argument d'injectivité que pour $L^2$ ; sa limite $Y$ est le prolongement cherché. Avec $Y_n = E[X_n \mid \mathcal G]$, la caractérisation passe à la limite, puisque $\big|E[(Y_n - Y)\mathbf 1_G]\big| \leqslant \|Y_n - Y\|_1$. Aucun représentant n'a été choisi, sinon celui de $X$, une seule fois.