Théorie

Martingales

L'espérance conditionnelle par rapport à une sous-tribu est la projection orthogonale de ${L^2}$ sur le sous-espace des variables mesurables pour cette sous-tribu. Une martingale est une suite de variables dont chacune est l'espérance conditionnelle de la suivante sachant le passé : c'est le modèle d'un jeu équitable.

Les martingales bornées dans $L^2$ convergent presque sûrement, ce qui donne la convergence de séries aléatoires et le comportement limite de processus de renforcement ; l'inégalité maximale de Kolmogorov-Doob donne aussi la loi forte des grands nombres pour des variables seulement intégrables.

Un chapitre est consacré aux chaînes de Markov à espace d'états fini ou dénombrable : récurrence et transience, théorème de Pólya sur la marche aléatoire dans ${\mathbb Z}^d$, mesures invariantes, théorème ergodique et convergence vers l'équilibre par couplage.