Inégalité maximale de Kolmogorov et Doob

Pour $k \geqslant 1$, $M_{k-1} = E[M_k \mid \mathcal F_{k-1}]$ est la projection de $M_k$ sur ${L^2}(\mathcal F_{k-1})$ (Espérance conditionnelle, caractérisation dans (i)) : l'accroissement $M_k - M_{k-1}$ est orthogonal à $L^2(\mathcal F_{k-1})$, qui contient $M_0$ et les accroissements antérieurs. D'où la première formule.

De même, $M_n - M_k$, somme d'accroissements postérieurs, est orthogonal à $L^2(\mathcal F_k)$ ; pour $A \in \mathcal F_k$, la variable $M_k\mathbf 1_A$ appartient à $L^2(\mathcal F_k)$, et $$\begin{aligned} E[M_n^2\mathbf 1_A] &= E[M_k^2\mathbf 1_A] \\ &\quad + E[(M_n - M_k)^2\mathbf 1_A] \\ &\geqslant E[M_k^2\mathbf 1_A]. \end{aligned}$$

Soit $T$ le premier $k \leqslant n$ tel que $|M_k| \geqslant a$, s'il existe : c'est un temps d'arrêt, et $\{T = k\} \in \mathcal F_k$.

Alors $$\begin{aligned} E[M_n^2] &\geqslant \sum_{k=0}^n E\big[M_n^2\mathbf 1_{\{T = k\}}\big] \\ &\geqslant \sum_{k=0}^n E\big[M_k^2\mathbf 1_{\{T = k\}}\big] \\ &\geqslant a^2\,P(T \leqslant n), \end{aligned}$$ et $\{T \leqslant n\}$ est l'événement $\max_{k \leqslant n}|M_k| \geqslant a$.