Convergence des martingales bornées dans L²

Par l'orthogonalité des accroissements (Inégalité maximale), $E[M_n^2]$ croît et est bornée, donc $\sum_k E[(M_k - M_{k-1})^2] < +\infty$, et $$\begin{aligned} &E[(M_n - M_m)^2] \\ &= \sum_{m < k \leqslant n} E[(M_k - M_{k-1})^2] : \end{aligned}$$ la suite est de Cauchy pour $\big(E[(\cdot)^2]\big)^{1/2}$. Le point (iv) du nœud Espaces L¹ et L², qui porte sur une suite de fonctions données et ne fait aucun choix, fournit une variable $M_\infty$ de carré intégrable telle que $E[(M_n - M_\infty)^2] \to 0$, ainsi qu'une suite extraite qui converge presque sûrement vers $M_\infty$.

Pour $m$ fixé, $(M_{m+j} - M_m)_{j \geqslant 0}$ est une martingale ; l'inégalité maximale, et la continuité croissante appliquée à la réunion croissante en $n'$ des événements $\{\max_{m \leqslant n \leqslant n'}|M_n - M_m| > \varepsilon\}$, donnent $$\begin{aligned} &P\Big(\sup_{n \geqslant m}|M_n - M_m| > \varepsilon\Big) \\ &\leqslant \frac{1}{\varepsilon^2}\sum_{k > m} E\big[(M_k - M_{k-1})^2\big], \end{aligned}$$ qui tend vers $0$ quand $m \to \infty$.

Les événements $\{\sup_{n, n' \geqslant m}|M_n - M_{n'}| > 2\varepsilon\}$, contenus dans les précédents, décroissent donc vers un événement négligeable.

Avec $\varepsilon = 1/(j + 1)$, $j \in {\mathbb N}$, la suite est presque sûrement de Cauchy, donc converge presque sûrement, vers une limite égale à $M_\infty$ presque sûrement, puisque la suite extraite obtenue plus haut converge presque sûrement vers $M_\infty$.

Enfin, pour $G \in \mathcal F_n$ et $m \geqslant n$, $E[M_m\mathbf 1_G] = E[M_n\mathbf 1_G]$ (Martingales, (ii)), et $\big|E[(M_m - M_\infty)\mathbf 1_G]\big| \leqslant E[(M_m - M_\infty)^2]^{1/2}$ par Cauchy-Schwarz (Espérance, variance, (ii)), d'où $$\begin{aligned} E[M_\infty\mathbf 1_G] &= \lim_m E[M_m\mathbf 1_G] \\ &= E[M_n\mathbf 1_G]. \end{aligned}$$ La variable $M_n$, qui est $\mathcal F_n$-mesurable, vérifie donc la propriété qui caractérise $E[M_\infty \mid \mathcal F_n]$, d'où $M_n = E[M_\infty \mid \mathcal F_n]$ ; l'unicité qui fonde cette caractérisation ne fait aucun choix.