Proposition 1Martingales

Série harmonique aléatoire et urne de Pólya

Énoncé

(i) Si $(\varepsilon_n)$ sont indépendantes et valent $\pm 1$ avec probabilité $\frac12$ , la série $\sum_{n \geqslant 1} \varepsilon_n/n$ converge presque sûrement.

(ii) Urne de Pólya. Une urne contient au départ une boule rouge et une bleue ; à chaque étape, on tire une boule uniformément, et on la remet avec une boule supplémentaire de même couleur. La proportion $X_n$ de boules rouges après $n$ tirages est une martingale, qui converge presque sûrement.

Démonstration

(i) Les sommes partielles $M_n = \sum_{k \leqslant n}\varepsilon_k/k$ forment une martingale (Martingales, (i), première affirmation), et $E[M_n^2] = \sum_{k \leqslant n}1/k^2$ est borné. On applique Convergence des martingales. Des variables $\varepsilon_n$ existent sur $[0, 1[$ : $\varepsilon_n = 2d_n - 1$ , où $d_n$ est le $n$ -ième chiffre binaire (Nombres normaux).

(ii) On réalise l'urne à partir d'une suite de variables uniformes indépendantes $U_n$ , qui existe sur $[0, 1[$ (Suites indépendantes, (i)) : au tirage $n + 1$ , on tire une rouge si $U_{n+1} \leqslant X_n$ .

Après $n$ tirages, l'urne contient $n + 2$ boules, dont $R_n$ rouges, et $X_n = R_n/(n + 2)$ ; on prend $\mathcal F_n = \sigma(U_1, \dots, U_n)$ , et $R_n$ est $\mathcal F_n$ -mesurable, par récurrence.

Comme $X_n$ ne prend que les valeurs $r/(n + 2)$ , $1 \leqslant r \leqslant n + 1$ , $\begin{aligned} &\mathbf 1_{\{U_{n+1} \leqslant X_n\}} \\ &= \sum_r \mathbf 1_{\{X_n = r/(n+2)\}}\,\mathbf 1_{\{U_{n+1} \leqslant r/(n+2)\}}, \end{aligned}$ où chaque $\mathbf 1_{\{X_n = r/(n+2)\}}$ est bornée et $\mathcal F_n$ -mesurable, et $U_{n+1}$ est indépendante de $\mathcal F_n$ par regroupement (Indépendance, (ii)).

Par Espérance conditionnelle, (iv), l'espérance conditionnelle de ce tirage sachant $\mathcal F_n$ vaut $\sum_r \mathbf 1_{\{X_n = r/(n+2)\}}\,\frac r{n+2} = X_n,$ d'où $E[R_{n+1} \mid \mathcal F_n] = R_n + X_n$ et $\begin{aligned} E[X_{n+1} \mid \mathcal F_n] &= \frac{R_n(n + 3)/(n + 2)}{n + 3} \\ &= X_n. \end{aligned}$

Comme $0 \leqslant X_n \leqslant 1$ , $E[X_n^2] \leqslant 1$ , et la martingale converge presque sûrement (Convergence des martingales).

□

Remarque

La limite $X_\infty$ de l'urne de Pólya suit la loi uniforme sur $[0, 1]$ . D'abord, $R_0 = 1$ ; si $R_n$ est uniforme sur $\{1, \dots, n + 1\}$ , le tirage $n + 1$ est rouge avec la probabilité $\frac r{n+2}$ sur $\{R_n = r\}$ , par l'indépendance de $U_{n+1}$ et de $\mathcal F_n$ , d'où $\begin{aligned} &P(R_{n+1} = r) \\ &= \frac1{n+1}\Big(\frac{r - 1}{n + 2} + \frac{n + 2 - r}{n + 2}\Big) = \frac1{n+2} \end{aligned}$ pour $1 \leqslant r \leqslant n + 2$ . Par récurrence, $R_n$ est uniforme sur $\{1, \dots, n + 1\}$ pour tout $n$ , et $P(X_n \leqslant x) = \min\big(\lfloor (n + 2)x \rfloor, n + 1\big)/(n + 1)$ tend vers $x$ pour $x \in [0, 1]$ .

Soit $F$ la fonction de répartition de $X_\infty$ , qui est à valeurs dans $[0, 1]$ . Pour $\varepsilon > 0$ , l'événement $\{X_\infty \leqslant x - \varepsilon\}$ est contenu dans $\{X_n \leqslant x\} \cup \{|X_n - X_\infty| \geqslant \varepsilon\}$ , et $\{X_n \leqslant x\}$ dans $\{X_\infty \leqslant x + \varepsilon\} \cup \{|X_n - X_\infty| \geqslant \varepsilon\}$ . La convergence presque sûre entraînant la convergence en probabilité (Modes de convergence, (i)), il vient $F(x - \varepsilon) \leqslant x \leqslant F(x + \varepsilon)$ pour $x \in [0, 1]$ ; donc $F(y) = y$ sur $[0, 1]$ , $F$ est nulle sur $]{-\infty}, 0[$ et vaut $1$ sur $]1, +\infty[$ , et c'est la fonction de répartition de la loi uniforme, qui est donc la loi de $X_\infty$ (Variables aléatoires, (i)).

Chaque urne converge, mais vers une proportion aléatoire, fixée par les tout premiers tirages ; c'est un modèle de renforcement, où le hasard initial devient une propriété permanente.

Six urnes simulées selon la règle de la preuve, sur

500

tirages, l'axe horizontal étant gradué en échelle logarithmique : les proportions se séparent dès les premiers tirages, puis chacune se stabilise vers sa propre limite.

Remarque

La série harmonique alternée $\sum (-1)^{n+1}/n$ converge, vers une valeur précise, alors que $\sum 1/n$ diverge. Le théorème (i) dit que des signes tirés au hasard suffisent presque sûrement à la convergence ; la somme, elle, est une variable aléatoire non constante, de variance $\sum_{n \geqslant 1} 1/n^2$ , puisque la convergence a aussi lieu dans ${L^2}$ (Convergence des martingales).

Les sommes partielles

\sum_{k \leqslant n}\varepsilon_k/k

pour quatre tirages des signes, en rouge, et celles de la série alternée, en pointillé : chaque trajectoire se stabilise, mais vers une limite qui dépend du tirage.

Repose sur

Convergence des martingales bornées dans L²

Sert à

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