Théorème 6Probabilités

Chiffres binaires et nombres normaux de Borel

Pour $\omega \in [0, 1[$ , le $k$ -ième chiffre binaire est $d_k(\omega) = \lfloor 2^k\omega \rfloor - 2\lfloor 2^{k-1}\omega \rfloor$ , qui vaut $0$ ou $1$ , puisque $\lfloor 2y \rfloor - 2\lfloor y \rfloor \in \{0, 1\}$ pour tout réel $y$ : si $y = \lfloor y \rfloor + r$ avec $0 \leqslant r < 1$ , alors $\lfloor 2y \rfloor = 2\lfloor y \rfloor + \lfloor 2r \rfloor$ , et $\lfloor 2r \rfloor \in \{0, 1\}$ puisque $0 \leqslant 2r < 2$ .

Énoncé

(i) Sur $[0, 1[$ muni de la mesure de Lebesgue, les $d_k$ sont des variables de Bernoulli de paramètre $\frac12$ , indépendantes.

(ii) Borel, 1909. Pour presque tout $\omega \in [0, 1[$ , la proportion de $1$ parmi les $n$ premiers chiffres binaires de $\omega$ tend vers $\frac12$ : presque tout réel de $[0, 1[$ est simplement normal en base $2$ .

Démonstration

(i) Par récurrence, $\lfloor 2^n\omega \rfloor = \sum_{k \leqslant n} d_k(\omega) 2^{n-k}$ , la somme étant télescopique.

L'application $(\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n) \mapsto \sum_k \varepsilon_k 2^{n-k}$ est une bijection de $\{0, 1\}^n$ sur $\{0, \dots, 2^n - 1\}$ , par l'unicité de la division euclidienne par $2$ ; donc l'événement $\{d_1 = \varepsilon_1, \dots, d_n = \varepsilon_n\}$ est $\{\lfloor 2^n\omega \rfloor = N\}$ , c'est-à-dire l'intervalle $[N2^{-n}, (N + 1)2^{-n}[$ , de mesure $2^{-n} = \prod_k \frac12$ .

Les $d_k$ sont boréliennes, comme différences de fonctions en escalier. La formule produit pour ces événements entraîne, en sommant sur les valeurs des indices omis, celle de toute sous-famille, d'où l'indépendance par Indépendance, (i).

(ii) Les $d_k$ sont bornées, donc de moment d'ordre $4$ fini ; on applique la loi forte des grands nombres (Loi forte).

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Remarque

Le théorème affirme que presque tout réel est simplement normal en base $2$ : chacun des deux chiffres y a la fréquence $\frac12$ . Être normal en base $2$ demande davantage, que chaque bloc de $k$ chiffres consécutifs ait la fréquence $2^{-k}$ , pour tout $k$ .

Le même argument le donne. Pour $k$ fixé, un bloc $b$ de $k$ chiffres et un décalage $r < k$ , les blocs disjoints $(d_{kj+r+1}, \dots, d_{kj+r+k})$ , $j \in {\mathbb N}$ , sont indépendants par regroupement (Indépendance, (ii)), et chacun est égal à $b$ avec probabilité $2^{-k}$ par (i) ; la loi forte, appliquée aux indicatrices de ces égalités, donne la fréquence $2^{-k}$ le long de chaque décalage, donc sur l'ensemble des positions, et l'on conclut par une intersection dénombrable sur $k$ et $b$ . Borel a même établi que presque tout réel est normal dans toutes les bases.

Remarque

Le théorème n'exhibe aucun nombre normal de façon simple. En base $10$ , Champernowne a montré en 1933 que $0{,}123456789101112\ldots$ , obtenu en écrivant les entiers à la suite, est normal ; on ignore en revanche si $\sqrt 2$ ou $\pi$ le sont.

Remarque

En répartissant les chiffres $d_k$ en une infinité de sous-suites disjointes, au moyen d'une bijection de ${\mathbb N} \times \mathbb N$ sur $\mathbb N$ (ℚ est dénombrable), et en recomposant chaque sous-suite en un réel, on obtient une suite de variables uniformes indépendantes sur le seul espace $[0, 1[$ : c'est ce que fait le nœud suivant, qui en déduit des suites indépendantes de lois quelconques.

Repose sur

Loi forte des grands nombres

Sert à

Suites de variables indépendantes de lois données L'ensemble de Cantor et la loi de Cantor