Suites de variables indépendantes de lois données

(i) Les sous-suites de chiffres. Tout entier $k \geqslant 1$ s'écrit de manière unique $2^m(2j + 1)$ avec $m, j \in \mathbb N$ (ℚ est dénombrable, (i)) : les ensembles $I_m = \{2^m(2j + 1) : j \in \mathbb N\}$ sont disjoints et recouvrent $\mathbb N \setminus \{0\}$.

Chaque $U_m$ est mesurable, comme limite simple de ses sommes partielles, qui sont des sommes finies de fonctions mesurables (Fonctions mesurables, (ii) et (iii)).

De plus, chaque $d_k$, $k \in I_m$, est mesurable pour la tribu $$\mathcal B_m = \sigma\Big(\bigcup_{k \in I_m}\sigma(d_k)\Big),$$ et le même argument, appliqué sur $(\Omega, \mathcal B_m)$, montre que $U_m$ est $\mathcal B_m$-mesurable : $\sigma(U_m) \subset \mathcal B_m$.

Les $d_k$ étant indépendants, les $\mathcal B_m$ le sont par regroupement (Indépendance, (ii)), donc aussi les $U_m$.

La loi. Fixons $m$ et posons $e_j = d_{2^m(2j - 1)}$ pour $j \geqslant 1$ : ce sont des variables de Bernoulli de paramètre $\frac12$ indépendantes, et $V = \sum_j e_j2^{-j} = U_m$, à valeurs dans $[0, 1]$.

Pour $n \geqslant 1$ et $0 \leqslant M < 2^n$, soit $E_M$ l'événement « les $n$ premiers $e_j$ sont les chiffres binaires de $M$ », de probabilité $2^{-n}$ par indépendance ; sur $E_M$, $V \in [M2^{-n}, (M + 1)2^{-n}]$, la queue de la série étant comprise entre $0$ et $2^{-n}$.

Soit $x = N2^{-n}$ un dyadique de $[0, 1]$. On a $\bigcup_{M < N} E_M \subset \{V \leqslant x\}$, d'où $P(V \leqslant x) \geqslant x$.

Si $V \leqslant x$ sur $E_M$ avec $M \geqslant N$, alors $V = x$ ; et, pour tout $n' \geqslant n$, l'égalité $V = x$ impose aux $n'$ premiers chiffres d'être ceux de $N2^{n'-n}$ ou de $N2^{n'-n} - 1$, d'où $P(V = x) \leqslant 2 \cdot 2^{-n'}$, puis $P(V = x) = 0$. Ainsi $P(V \leqslant x) = x$ pour tout dyadique $x$ de $[0, 1]$.

Pour $x \in [0, 1]$ quelconque, des dyadiques $x' \leqslant x \leqslant x''$ arbitrairement proches de $x$ et la croissance de $F_V$ donnent $F_V(x) = x$ ; enfin $F_V = 0$ sur $]{-\infty}, 0[$ et $F_V = 1$ sur $[1, +\infty[$. C'est la fonction de répartition de la loi uniforme, qui est donc la loi de $V$ (Variables aléatoires, (i)).

(ii) Pour $u \in \,]0, 1[$, l'ensemble $A_u = \{x : F(x) \geqslant u\}$ est non vide et minoré, puisque $F$ tend vers 1 en $+\infty$ et vers $0$ en $-\infty$ ; il a donc une borne inférieure $G(u)$, par la propriété de la borne supérieure appliquée aux opposés.

Comme $F$ est croissante, $A_u$ contient toute demi-droite $[x, +\infty[$ issue de l'un de ses points ; il contient donc $G(u) + \frac1k$ pour tout $k \geqslant 1$, et, $F$ étant continue à droite, $F(G(u)) = \lim_k F(G(u) + \frac1k) \geqslant u$ : $G(u) \in A_u$. Donc, pour tout réel $x$, $G(u) \leqslant x$ si et seulement si $u \leqslant F(x)$.

Par suite $X = h(U)$, où $h(u) = G(u)$ pour $0 < u < 1$ et $h(u) = 0$ sinon, et $\{h \leqslant x\} = B_x$, avec $$B_x = \,]0, 1[ \,\cap\, ]{-\infty}, F(x)]$$ si $x < 0$ et $$\begin{aligned} B_x = {}&(]0, 1[ \,\cap\, ]{-\infty}, F(x)]) \\ &\cup (\mathbb R \setminus \,]0, 1[) \end{aligned}$$ si $x \geqslant 0$ : ces ensembles sont boréliens, donc $h$ est borélienne (Fonctions mesurables, (i)), $X$ est mesurable et $\sigma(X) \subset \sigma(U)$.

Comme $P(U \in \,]0, 1[) = 1$, $$P(X \leqslant x) = P(0 < U \leqslant F(x)) = F(x),$$ $F(x)$ étant dans $[0, 1]$ : la fonction de répartition de $X$ est $F$.

(iii) Soit $F_m$ la fonction de répartition de $\mu_m$, $G_m$ sa fonction quantile, et $X_m$ construite à partir de $U_m$ comme en (ii). La loi de $X_m$ a pour fonction de répartition $F_m$, donc c'est $\mu_m$ (Variables aléatoires, (i)). Chaque $X_m = h_m(U_m)$ est une fonction borélienne de $U_m$ seul, et $\sigma(X_m) \subset \sigma(U_m)$ par (ii) ; des sous-tribus de tribus indépendantes étant indépendantes, les $X_m$ le sont.