Définition 1Probabilités

Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles

Un espace probabilisé est un espace mesuré $(\Omega, \mathcal A, P)$ tel que $P(\Omega) = 1$ ; la mesure $P$ est une probabilité, les éléments de $\mathcal A$ sont les événements. Si $P(B) > 0$ , la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ est $P(A \mid B) = P(A \cap B)/P(B)$ .

Énoncé

(i) Si $P(B) > 0$ , $A \mapsto P(A \mid B)$ est une probabilité sur $(\Omega, \mathcal A)$ .

(ii) Probabilités totales. Si $(B_n)$ est une partition de $\Omega$ , finie ou indexée par ${\mathbb N}$ , en événements de probabilité non nulle, alors $P(A) = \sum_n P(A \mid B_n)\,P(B_n)$ pour tout événement $A$ .

(iii) Formule de Bayes. Sous les mêmes hypothèses, si $P(A) > 0$ , $P(B_k \mid A) = \frac{P(A \mid B_k)\,P(B_k)}{\sum_n P(A \mid B_n)\,P(B_n)}.$

Démonstration

(i) $P(\Omega \mid B) = 1$ , et la σ-additivité de $P$ , appliquée aux $A_n \cap B$ disjoints, donne celle de $P(\cdot \mid B)$ .

(ii) Les $A \cap B_n$ sont disjoints, de réunion $A$ ; par σ-additivité, $P(A) = \sum_n P(A \cap B_n)$ , et $P(A \cap B_n) = P(A \mid B_n)P(B_n)$ .

(iii) $P(B_k \mid A) = P(A \cap B_k)/P(A)$ ; on écrit le numérateur comme en (ii) et le dénominateur par (ii).

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Remarque

Le modèle de Kolmogorov (1933) ne dit pas ce qu'est le hasard : il fixe les règles de calcul, celles de la théorie de la mesure, et laisse à chaque situation le soin de choisir $\Omega$ et $P$ . Tous les théorèmes de cette branche sont des théorèmes d'intégration sur un espace de masse $1$ .

Remarque

L'erreur la plus répandue est de confondre $P(A \mid B)$ et $P(B \mid A)$ . Pour une maladie de prévalence $1\,\%$ , un test qui détecte $99\,\%$ des malades et donne $5\,\%$ de faux positifs, la formule de Bayes donne $\begin{aligned} &P(\text{malade} \mid +) \\ &= \frac{0{,}99 \times 0{,}01}{0{,}99 \times 0{,}01 + 0{,}05 \times 0{,}99} = \frac16 : \end{aligned}$ un test positif ne laisse qu'une chance sur six d'être malade, parce que les bien-portants sont beaucoup plus nombreux.

Repose sur

Mesure, intégration

Sert à

Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition