L'ensemble de Cantor et la loi de Cantor

Segments. La mesure de Lebesgue donne à tout intervalle $]a, b]$, pour $a \leqslant b$, sa longueur $b - a$. Un point $a$ est contenu dans $]a - \varepsilon, a]$ pour tout $\varepsilon > 0$ : il est négligeable, et $\lambda([a, b]) = b - a$. Un segment, complémentaire d'un ouvert, est borélien.

(i) Les deux suites de $\{0, 1\}^{N+1}$ qui prolongent $c \in \{0, 1\}^N$ sont $c0 = (c_1, \dots, c_N, 0)$ et $c1 = (c_1, \dots, c_N, 1)$, avec $a_{c0} = a_c$ et $a_{c1} = a_c + 2 \cdot 3^{-N-1}$. Ainsi $$\begin{aligned} S_{c0} &= [a_c, a_c + 3^{-N-1}], \\ S_{c1} &= [a_c + 2 \cdot 3^{-N-1}, a_c + 3^{-N}], \end{aligned}$$ et leur réunion est $S_c$ privé de son tiers central ouvert. Toute suite de $\{0, 1\}^{N+1}$ étant de l'une de ces deux formes, $K_{N+1}$ s'obtient comme annoncé, et $K_{N+1} \subset K_N$.

Chaque $K_N$, réunion finie de segments, est fermé, donc borélien, et $K$, intersection de fermés, est fermé, donc borélien lui aussi. Par sous-additivité (Mesures, (ii)), $\lambda(K_N) \leqslant 2^N \cdot 3^{-N}$. Comme $K \subset K_N$ pour tout $N$, $\lambda(K) \leqslant (2/3)^N$, qui tend vers $0$ : $K$ est négligeable.

(ii) Convergence. Les termes de la série sont compris entre $0$ et $2 \cdot 3^{-k}$, et, par la somme d'une suite géométrique, $\sum_{k=N+1}^{M} 2 \cdot 3^{-k} = 3^{-N} - 3^{-M} < 3^{-N}$. Les sommes partielles $X_N(\omega) = \sum_{k \leqslant N} 2d_k(\omega)3^{-k}$ forment donc une suite croissante et majorée, qui converge, et $0 \leqslant X(\omega) - X_N(\omega) \leqslant 3^{-N}$.

Valeurs dans $K$. Pour $c = (d_1(\omega), \dots, d_N(\omega))$, on a $X_N(\omega) = a_c$, donc $X(\omega) \in S_c \subset K_N$, et cela pour tout $N$ : $X(\omega) \in K$.

Croissance stricte. Par définition de $d_n$, $\lfloor 2^n\omega \rfloor = 2\lfloor 2^{n-1}\omega \rfloor + d_n(\omega)$, et $\lfloor 2^n\omega \rfloor = \sum_{k \leqslant n} d_k(\omega)2^{n-k}$ (Nombres normaux, démonstration de (i)). Soient $\omega < \omega'$ dans $\Omega$. Leurs chiffres ne sont pas tous égaux : sinon $\lfloor 2^n\omega \rfloor = \lfloor 2^n\omega' \rfloor$ pour tout $n$, et $\omega$, $\omega'$, qui appartiendraient tous deux à l'intervalle $[2^{-n}\lfloor 2^n\omega \rfloor, 2^{-n}(\lfloor 2^n\omega \rfloor + 1)[$, différeraient de moins de $2^{-n}$ pour tout $n$, ce qui est impossible puisque $2^{-n}$ tend vers $0$.

Soit $m$ le premier indice tel que $d_m(\omega) \neq d_m(\omega')$. Les chiffres d'indice inférieur à $m$ étant égaux, $\lfloor 2^{m-1}\omega \rfloor = \lfloor 2^{m-1}\omega' \rfloor$ ; comme $\lfloor 2^m\omega \rfloor \leqslant \lfloor 2^m\omega' \rfloor$, la relation de récurrence donne $d_m(\omega) \leqslant d_m(\omega')$, donc $d_m(\omega) = 0$ et $d_m(\omega') = 1$. Il vient $$\begin{aligned} X(\omega') - X(\omega) &\geqslant \frac{2}{3^m} - \sum_{k > m} \frac{2}{3^k} \\ &= \frac{2}{3^m} - \frac{1}{3^m} > 0. \end{aligned}$$

Mesurabilité. Les $d_k$ sont boréliennes (Nombres normaux, démonstration de (i)), les $X_N$, sommes finies, aussi, et $X$ est leur limite simple (Fonctions mesurables, (ii) et (iii)).

(iii) L'ensemble $\Omega$ diffère du segment $[0, 1]$ d'un point, et $\lambda(\Omega) = 1$. Comme $X$ prend ses valeurs dans $K$, $\mu(K) = P(X \in K) = 1$. Pour un réel $y$, l'événement $\{X = y\}$ a au plus un élément, $X$ étant strictement croissante : il est négligeable, et $\mu(\{y\}) = 0$.

Pour $\omega \in \Omega$, la croissance stricte donne $\{X \leqslant X(\omega)\} = [0, \omega]$, de mesure $\omega$ : $F(X(\omega)) = \omega$.

La fonction $F$ est continue à droite (Variables aléatoires, (i)). Pour $y$ réel, $F(y) - F(y - \frac1n) = \mu(]y - \frac1n, y])$, et ces intervalles décroissent vers $\{y\}$ ; par continuité décroissante (Mesures, (iii)), la différence tend vers $\mu(\{y\}) = 0$. La fonction $F$ étant croissante, sa limite à gauche en $y$ est celle de la suite $F(y - \frac1n)$, c'est-à-dire $F(y)$ : $F$ est continue en $y$.

(iv) Si $\mu$ avait une densité $f$, on aurait $\mu(K) = \int f\,\mathbf 1_K\,d\lambda$. La fonction $f\,\mathbf 1_K$ est nulle hors de l'ensemble négligeable $K$, donc presque partout, et son intégrale est nulle (Intégrale, (iv)), ce qui contredit $\mu(K) = 1$.