Corollaire 1Suites réelles et limites

Théorème des segments emboîtés

Énoncé

Soit $([a_n, b_n])_{n \in {\mathbb N}}$ une suite de segments de ${\mathbb R}$ , avec $a_n \leqslant b_n$ , emboîtés au sens où $[a_{n+1}, b_{n+1}] \subset [a_n, b_n]$ pour tout $n$ . Leur intersection $\bigcap_n [a_n, b_n]$ n'est pas vide : c'est le segment $[\alpha, \beta]$ , où $\alpha = \lim a_n$ et $\beta = \lim b_n$ .

Si de plus $b_n - a_n \to 0$ , cette intersection est réduite à un point.

Démonstration

L'inclusion $[a_{n+1}, b_{n+1}] \subset [a_n, b_n]$ équivaut à $a_n \leqslant a_{n+1} \leqslant b_{n+1} \leqslant b_n$ . La suite $(a_n)$ est donc croissante et majorée par $b_0$ , et converge vers un réel $\alpha$ ; la suite $(b_n)$ est décroissante et minorée par $a_0$ , et converge vers un réel $\beta$ .

En passant à la limite dans $a_m \leqslant b_m$ , on obtient $\alpha \leqslant \beta$ . Pour $n$ fixé et $m \geqslant n$ , on a $a_n \leqslant a_m$ et $b_m \leqslant b_n$ , d'où, à la limite, $a_n \leqslant \alpha$ et $\beta \leqslant b_n$ .

Ainsi $[\alpha, \beta] \subset [a_n, b_n]$ pour tout $n$ , et $[\alpha, \beta]$ est contenu dans l'intersection. Réciproquement, si $x$ appartient à tous les $[a_n, b_n]$ , le passage à la limite dans $a_n \leqslant x \leqslant b_n$ donne $\alpha \leqslant x \leqslant \beta$ . L'intersection est donc $[\alpha, \beta]$ , qui contient $\alpha$ .

Si $b_n - a_n \to 0$ , les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont adjacentes (Suites adjacentes), donc $\alpha = \beta$ , et l'intersection est $\{\alpha\}$ .

□

Remarque

Les deux hypothèses contenues dans le mot « segment » sont nécessaires. Les intervalles ouverts $]0, \frac1{n+1}[$ sont emboîtés et d'intersection vide, puisqu'un réel $x > 0$ sort de $]0, \frac1{n+1}[$ dès que $\frac1{n+1} \leqslant x$ ; les intervalles fermés non bornés $[n, +\infty[$ sont emboîtés et d'intersection vide aussi, par la propriété d'Archimède. Il faut des parties fermées et bornées, c'est-à-dire compactes (Topologie de ℝ).

Remarque

C'est le moteur de toutes les dichotomies : on coupe un segment en deux, on garde la moitié qui conserve une propriété, et l'on recommence. Les segments obtenus sont emboîtés et de longueur $\frac{b - a}{2^n}$ , qui tend vers $0$ par (iv) des limites infinies ; le point commun est celui que l'on cherchait. Une preuve classique de Bolzano-Weierstrass (Bolzano-Weierstrass) procède ainsi, en gardant la moitié gauche si elle contient des termes d'indices arbitrairement grands, et la moitié droite sinon ; l'atlas en donne une autre, par le lemme des pics.

Dichotomie pour le réel

\ell

de carré

2

, à partir de

[a_0, b_0] = [1, 2]

: on garde chaque fois la moitié qui vérifie encore

a_n^2 \leqslant 2 < b_n^2

, la moitié écartée étant en pointillé gris. Les segments sont emboîtés et de longueur

2^{-n}

, et leur seul point commun est

\ell

, que

[a_6, b_6] = [\frac{45}{32}, \frac{91}{64}]

localise déjà à

\frac1{64}

près.

Remarque

Cantor en a tiré, en 1874, que $\mathbb R$ n'est pas dénombrable. Dans une forme simplifiée de son argument, pour une suite $(x_n)$ de réels, on construit des segments emboîtés $[a_n, b_n]$ tels que $x_n \notin [a_{n+1}, b_{n+1}]$ , en gardant à chaque étape le tiers gauche ou le tiers droit selon une règle explicite, et le point commun n'est aucun des $x_n$ . Cantor, lui, délimitait chaque intervalle par les deux premiers termes de la suite qui tombent à l'intérieur du précédent.

Repose sur

Théorème des suites adjacentes

Sert à

Aucune fiche de ce graphe ne l'utilise encore.