Loi forte des grands nombres

Posons $Y_i = X_i - m$ : $E[Y_i] = 0$, $c = E[Y_i^4] < +\infty$, puisque $Y^4 \leqslant 8(X^4 + m^4)$, et $s = E[Y_i^2]$ vérifie $s^2 \leqslant c$ par Cauchy-Schwarz appliqué à $Y^2$ et $1$. En développant, $$E\big[(Y_1 + \cdots + Y_n)^4\big] = \sum_{i, j, k, l} E[Y_iY_jY_kY_l].$$

Si l'un des indices n'apparaît qu'une fois, disons $i$, la variable $Y_i$ est indépendante du produit des trois autres (Indépendance, (ii)), qui est intégrable puisque $|abc| \leqslant |a|^3 + |b|^3 + |c|^3 \leqslant 3 + a^4 + b^4 + c^4$, et le terme vaut $E[Y_i] \cdot E[\cdots] = 0$ (Espérance, variance, (iv)).

Restent les $n$ termes où les quatre indices sont égaux, qui valent $c$, et les $3n(n - 1)$ termes formés de deux paires distinctes, qui valent $s^2$. Donc $$\begin{aligned} E\big[(Y_1 + \cdots + Y_n)^4\big] &\leqslant nc + 3n^2c \\ &\leqslant 4n^2c. \end{aligned}$$

Par l'inégalité de Markov appliquée à la puissance quatrième, $$P\Big(\Big|\frac{S_n}{n} - m\Big| \geqslant \varepsilon\Big) \leqslant \frac{4c}{n^2\varepsilon^4},$$ terme général d'une série convergente, puisque $\frac1{n^2} \leqslant \frac1{n - 1} - \frac1n$ pour $n \geqslant 2$. Par Borel-Cantelli (Borel-Cantelli), presque sûrement $|S_n/n - m| < \varepsilon$ à partir d'un certain rang.

On prend $\varepsilon = 1/(k + 1)$ ; l'intersection de ces événements de probabilité $1$, indexée par $k \in {\mathbb N}$, est encore de probabilité $1$.