Loi forte des grands nombres pour des variables intégrables

(i) Cesàro. Soit $\varepsilon > 0$ et $K$ tel que $|a_k - \ell| \leqslant \varepsilon$ pour $k > K$. Pour $n > K$, $$\Big|\frac1n\sum_{k=1}^n a_k - \ell\Big| \leqslant \frac1n\sum_{k=1}^K|a_k - \ell| + \varepsilon,$$ dont la limite supérieure est au plus $\varepsilon$.

Kronecker. Soit $r_k = \sum_{j > k} a_j/j$ le reste de la série, qui tend vers $0$ ; alors $a_k = k(r_{k-1} - r_k)$ pour $k \geqslant 1$, et une transformation d'Abel donne $$\begin{aligned} \sum_{k=1}^n a_k &= \sum_{k=0}^{n-1}(k + 1)r_k - \sum_{k=1}^n k\,r_k \\ &= \sum_{k=0}^{n-1} r_k - n\,r_n. \end{aligned}$$ Divisé par $n$, le premier terme tend vers $0$ par Cesàro, et le second est $r_n \to 0$.

(ii) Troncature. Posons $Y_k = X_k\mathbf 1_{\{|X_k| \leqslant k\}}$. Les $Y_k$ sont indépendantes, puisque $\sigma(Y_k) \subset \sigma(X_k)$ et que des sous-tribus de tribus indépendantes sont indépendantes, comme au nœud Suites indépendantes, (iii). Comme $\sum_{k \geqslant 1}\mathbf 1_{\{|X_1| > k\}} \leqslant |X_1|$, le nombre d'entiers $k \geqslant 1$ inférieurs à $|X_1|$ étant au plus $|X_1|$, la convergence monotone donne $$\begin{aligned} \sum_{k \geqslant 1}P(Y_k \neq X_k) &= \sum_{k \geqslant 1}P(|X_1| > k) \\ &\leqslant E[|X_1|]. \end{aligned}$$ Par Borel-Cantelli (Borel-Cantelli, (i)), presque sûrement $X_k = Y_k$ à partir d'un certain rang, et alors $\frac1n\sum_{k \leqslant n}(X_k - Y_k) \to 0$, la somme n'ayant qu'un nombre fini de termes non nuls.

Variances. Pour tout entier $p \geqslant 1$, $$\sum_{k \geqslant p}\frac1{k^2} \leqslant \frac1{p^2} + \sum_{k > p}\Big(\frac1{k - 1} - \frac1k\Big) \leqslant \frac2p.$$ Si $p$ est le plus petit entier $\geqslant \max(1, |X_1|)$, il vient $X_1^2\sum_{k \geqslant p}\frac1{k^2} \leqslant \frac{2X_1^2}{\max(1, |X_1|)} \leqslant 2|X_1|$, et, par convergence monotone, $$\begin{aligned} \sum_{k \geqslant 1}\frac{E[Y_k^2]}{k^2} &= E\Big[X_1^2\sum_{k \geqslant 1}\frac{\mathbf 1_{\{|X_1| \leqslant k\}}}{k^2}\Big] \\ &\leqslant 2E[|X_1|], \end{aligned}$$ puisque les $X_k$ ont la loi de $X_1$ (Espérance, variance, (i)).

Convergence de la série. Les variables $Z_k = (Y_k - E[Y_k])/k$ sont indépendantes, bornées et centrées, et $E[Z_k^2] \leqslant E[Y_k^2]/k^2$. Leurs sommes partielles $M_n$ forment une martingale pour la filtration $\sigma(Z_1, \dots, Z_n)$ (Martingales, (i), première assertion), et, pour $m < n$, l'indépendance donne directement (Espérance, variance, (iv)) $$E[(M_n - M_m)^2] = \sum_{m < k \leqslant n}E[Z_k^2].$$

L'inégalité maximale (Inégalité maximale), appliquée à la martingale $(M_{m+j} - M_m)_{j \geqslant 0}$, donne, pour $n > m$, $$\begin{aligned} &P\Big(\max_{m \leqslant k \leqslant n}|M_k - M_m| > \varepsilon\Big) \\ &\leqslant \frac1{\varepsilon^2}\sum_{m < k \leqslant n}E[Z_k^2]. \end{aligned}$$ L'événement $\{\sup_{k \geqslant m}|M_k - M_m| > \varepsilon\}$ est la réunion croissante, en $n$, de ces événements ; par continuité croissante, sa probabilité est au plus $\frac1{\varepsilon^2}\sum_{k > m}E[Z_k^2]$, qui tend vers $0$ quand $m \to \infty$, puisque $\sum_k E[Z_k^2] \leqslant 2E[|X_1|]$.

Pour $\varepsilon > 0$ fixé, l'événement $B_\varepsilon = \bigcap_m\{\sup_{k \geqslant m}|M_k - M_m| > \varepsilon\}$ est donc négligeable, ainsi que la réunion $B$ des $B_{1/(j+1)}$, $j \in {\mathbb N}$. Hors de $B$, pour tout $j$, il existe $m$ tel que $|M_k - M_m| \leqslant \frac1{j + 1}$ pour $k \geqslant m$, d'où $|M_k - M_l| \leqslant \frac2{j + 1}$ pour $k, l \geqslant m$ : la suite $(M_n)$ est de Cauchy dans ${\mathbb R}$, donc converge (Complétude). On n'a besoin ni d'une limite dans ${L^2}$, ni de la complétude de cet espace. La série $\sum_k (Y_k - E[Y_k])/k$ converge donc presque sûrement, et (i) donne $\frac1n\sum_{k \leqslant n}(Y_k - E[Y_k]) \to 0$.

Espérances. $E[Y_k] = E[X_1\mathbf 1_{\{|X_1| \leqslant k\}}] \to \mu$ par convergence dominée (Convergence dominée, (i)), la domination étant $|X_1|$, et $\frac1n\sum_{k \leqslant n}E[Y_k] \to \mu$ par Cesàro. En rassemblant les trois limites, $S_n/n \to \mu$ presque sûrement.

(iii) Pour tout entier $c \geqslant 1$, les variables $\min(X_k, c)$ sont indépendantes, de même loi, bornées ; par (ii), presque sûrement, $$\begin{aligned} \liminf_n \frac{S_n}n &\geqslant \lim_n\frac1n\sum_{k \leqslant n}\min(X_k, c) \\ &= E[\min(X_1, c)]. \end{aligned}$$ L'intersection de ces événements, pour $c \in {\mathbb N}$, est de probabilité $1$, et $E[\min(X_1, c)] \to E[X_1] = +\infty$ par convergence monotone.