Définition 1Martingales

Martingales et temps d'arrêt ⋆

⋆ Axiome du choix

La première affirmation de (i), sur les sommes de variables indépendantes, n'utilise aucun choix. La seconde affirmation de (i) utilise l'existence de $E[X \mid \mathcal F_n]$ pour $X \in L^1$ , et hérite donc, pour une filtration quelconque, du choix dénombrable par Espérance conditionnelle, (i) et (ii). Elle n'en fait aucun quand chaque $\mathcal F_n$ est engendrée par une suite d'événements, comme $\sigma(X_1, \dots, X_n)$ : l'existence vient alors du point (v) du même nœud, et la suite $(M_n)$ est définie sans choix, chacun de ses termes étant une classe unique. La définition et le reste de la fiche n'emploient l'espérance conditionnelle que par sa propriété caractéristique, vérifiée par une variable donnée : $E[M_{n+1} \mid \mathcal F_n] = M_n$ signifie $E[M_{n+1}\mathbf 1_G] = E[M_n\mathbf 1_G]$ pour tout $G \in \mathcal F_n$ , ce qui ne fait aucun choix.

Une filtration est une suite croissante $(\mathcal F_n)_{n \in {\mathbb N}}$ de sous-tribus. Une suite $(M_n)$ de variables intégrables, chaque $M_n$ étant $\mathcal F_n$ -mesurable, est une martingale si $E[M_{n+1} \mid \mathcal F_n] = M_n$ pour tout $n$ .

Un temps d'arrêt est une variable $T$ à valeurs dans $\mathbb N \cup \{+\infty\}$ telle que $\{T = n\} \in \mathcal F_n$ pour tout $n$ : la décision de s'arrêter à l'instant $n$ ne dépend que du passé.

Énoncé

(i) Si $(X_n)_{n \geqslant 1}$ sont indépendantes, intégrables et centrées, $S_n = X_1 + \cdots + X_n$ est une martingale pour $\mathcal F_n = \sigma(X_1, \dots, X_n)$ , avec $S_0 = 0$ et $\mathcal F_0 = \{\varnothing, \Omega\}$ . Pour toute $X \in {L^1}$ , $M_n = E[X \mid \mathcal F_n]$ est une martingale.

(ii) Pour une martingale, $E[M_n] = E[M_0]$ , et $E[M_m \mid \mathcal F_n] = M_n$ pour $m \geqslant n$ .

(iii) Arrêt borné. Si $T$ est un temps d'arrêt borné par $N$ , alors $E[M_T] = E[M_0]$ .

Démonstration

(i) On a $\begin{aligned} E[S_{n+1} \mid \mathcal F_n] &= S_n + E[X_{n+1} \mid \mathcal F_n] \\ &= S_n + E[X_{n+1}] = S_n, \end{aligned}$ par l'indépendance de $X_{n+1}$ et de $\mathcal F_n$ (Indépendance, (ii)) et Espérance conditionnelle, (iv) ; on a écrit $E[S_n \mid \mathcal F_n] = S_n$ , puisque $S_n$ est $\mathcal F_n$ -mesurable et vérifie trivialement la propriété caractéristique, qui détermine l'espérance conditionnelle (Espérance conditionnelle, (ii)). Pour $M_n = E[X \mid \mathcal F_n]$ , c'est l'emboîtement ; si chaque $\mathcal F_n$ est engendrée par une suite d'événements, l'existence de ces espérances conditionnelles et l'emboîtement sont démontrés sans choix (Espérance conditionnelle, (v)).

(ii) Par récurrence et emboîtement, puis en prenant l'espérance.

(iii) On a $\begin{aligned} M_T &= M_0 \\ &\quad + \sum_{k=0}^{N-1}(M_{k+1} - M_k)\mathbf 1_{\{T > k\}}, \end{aligned}$ et $\{T > k\}$ , complémentaire de $\{T \leqslant k\}$ , appartient à $\mathcal F_k$ . Donc $\begin{aligned} &E\big[(M_{k+1} - M_k)\mathbf 1_{\{T > k\}}\big] \\ &= E\big[\mathbf 1_{\{T > k\}}\,E[M_{k+1} - M_k \mid \mathcal F_k]\big] \\ &= 0. \end{aligned}$

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Remarque

L'hypothèse que $T$ est borné ne peut pas être levée. Au jeu de pile ou face équitable, la stratégie qui double la mise après chaque perte et s'arrête au premier gain assure un gain de $1$ à l'instant d'arrêt $T$ , presque sûrement fini ; pourtant $E[M_0] = 0$ . Le paradoxe tient à ce que $T$ n'est pas borné et que les pertes intermédiaires ne le sont pas non plus : aucune richesse finie ne permet de suivre la stratégie jusqu'au bout. Le chapitre Théorème d'arrêt et uniforme intégrabilité étend l'arrêt borné à des temps d'arrêt quelconques, sous la condition qui manque ici : l'uniforme intégrabilité.

Repose sur

Espérance conditionnelle Probabilités

Sert à

Inégalité maximale de Kolmogorov et Doob Inégalité des montées de Doob