Inégalité des montées de Doob

(i) Par récurrence sur $j$, montrons que $\{\sigma_j \leqslant k\}$ et $\{\tau_j \leqslant k\}$ appartiennent à $\mathcal F_k$ pour tout $k$. On a $$\begin{aligned} \{\sigma_j \leqslant k\} = \bigcup_{l \leqslant k} \big(&\{\tau_{j-1} \leqslant l\} \\ &\cap \{M_l \leqslant a\}\big), \end{aligned}$$ réunion finie d'événements de $\mathcal F_l \subset \mathcal F_k$, puisque, $M_l$ étant $\mathcal F_l$-mesurable, $\{M_l \leqslant a\} \in \mathcal F_l$ ; de même $$\begin{aligned} \{\tau_j \leqslant k\} = \bigcup_{l \leqslant k}\big(&\{\sigma_j \leqslant l - 1\} \\ &\cap \{M_l \geqslant b\}\big) ; \end{aligned}$$ enfin $\{\sigma_j = k\} = \{\sigma_j \leqslant k\} \setminus \{\sigma_j \leqslant k - 1\} \in \mathcal F_k$, et de même pour $\tau_j$.

Par récurrence, puisque $\tau_j > \sigma_j \geqslant \tau_{j-1}$, on a $\tau_j \geqslant j$ et $\sigma_j \geqslant j - 1$ ; en particulier $U_n = \sum_{j=1}^n \mathbf 1_{\{\tau_j \leqslant n\}}$, les $\tau_j$ étant croissants, est une variable aléatoire.

Les intervalles $]\sigma_j, \tau_j]$ sont disjoints, car $\sigma_{j+1} \geqslant \tau_j$, et $\{\sigma_j < k \leqslant \tau_j\} = \{\sigma_j \leqslant k - 1\} \setminus \{\tau_j \leqslant k - 1\} \in \mathcal F_{k-1}$. Seuls les $j \leqslant k$ interviennent, puisque $\sigma_j \geqslant j - 1$ : $H_k$ est l'indicatrice d'une réunion finie d'événements de $\mathcal F_{k-1}$.

(ii) Sur chaque intervalle $]\sigma_j, \tau_j]$ contenu dans $[1, n]$, la somme télescope en $M_{\tau_j} - M_{\sigma_j} \geqslant b - a$ ; il y en a $U_n$. Il peut rester un intervalle commencé et non achevé, $]\sigma_j, n]$ avec $\sigma_j < n < \tau_j$, qui contribue $M_n - M_{\sigma_j} \geqslant M_n - a \geqslant -(M_n - a)^-$, puisque $M_{\sigma_j} \leqslant a$. Les autres termes sont nuls.

(iii) Par (i), $H_k = \mathbf 1_A$ avec $A \in \mathcal F_{k-1}$. Comme $M_{k-1} = E[M_k \mid \mathcal F_{k-1}]$, la propriété caractéristique (Espérance conditionnelle, caractérisation dans (i) et (ii)) donne $E[\mathbf 1_AM_k] = E[\mathbf 1_AM_{k-1}]$, c'est-à-dire $E[H_k(M_k - M_{k-1})] = 0$. On prend l'espérance de (ii), et $(M_n - a)^- \leqslant |M_n| + |a|$.