Théorème 5Martingales

Convergence presque sûre des martingales bornées dans L¹

Énoncé

Si $(M_n)$ est une martingale telle que $K = \sup_n E[|M_n|] < +\infty$ , elle converge presque sûrement vers une variable $M_\infty$ intégrable, avec $E[|M_\infty|] \leqslant K$ .

Démonstration

Pour $a < b$ , la suite des $U_n$ du nœud Montées est croissante ; sa limite $U_\infty \in [0, +\infty]$ , nombre total de montées de $a$ à $b$ , vérifie $E[U_\infty] \leqslant (K + |a|)/(b - a)$ par convergence monotone (Beppo Levi) et l'inégalité des montées. Donc $U_\infty < +\infty$ presque sûrement.

Or, sur l'événement $\{\liminf M_n < a < b < \limsup M_n\}$ , la suite passe une infinité de fois sous $a$ et au-dessus de $b$ ; par récurrence, tous les $\sigma_j$ et $\tau_j$ sont alors finis, et $U_\infty = +\infty$ : cet événement est négligeable.

La réunion de ces événements, pour les couples de rationnels $a < b$ , est négligeable, comme réunion dénombrable d'événements négligeables, une énumération de ${\mathbb Q}^2$ étant fixée (ℚ dénombrable) ; c'est exactement l'événement $\{\liminf M_n < \limsup M_n\}$ , puisqu'entre deux éléments distincts de $[-\infty, +\infty]$ on trouve deux rationnels.

Par le lemme de Fatou (Fatou), $E[\liminf |M_n|] \leqslant \liminf E[|M_n|] \leqslant K$ , donc $\liminf |M_n| < +\infty$ presque sûrement (Intégrale, (iv)). L'événement $\Omega_0 = \{\liminf M_n = \limsup M_n \in \mathbb R\}$ est donc de probabilité $1$ .

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Remarque

La convergence n'a pas lieu dans ${L^1}$ en général. Avec des signes $\varepsilon_k = \pm 1$ indépendants équiprobables, la suite $M_n = \prod_{k \leqslant n} 2\,\mathbf 1_{\{\varepsilon_k = 1\}},$ produit de facteurs indépendants d'espérance $1$ , est une martingale (Espérance conditionnelle, (iv), puisque $M_n \leqslant 2^n$ est bornée et que $\varepsilon_{n+1}$ est indépendante de $\mathcal F_n$ ), et $E[|M_n|] = 2^n \cdot 2^{-n} = 1$ .

Elle est nulle dès le premier $\varepsilon_k = -1$ , et $P(\varepsilon_1 = \cdots = \varepsilon_n = 1) = 2^{-n} \to 0$ : elle tend vers $0$ presque sûrement. Mais $E[|M_n - 0|] = 1$ ne tend pas vers $0$ , et une limite dans $L^1$ coïnciderait presque sûrement avec $0$ . Ce qui manque est l'uniforme intégrabilité, étudiée au chapitre Théorème d'arrêt et uniforme intégrabilité : une martingale uniformément intégrable converge aussi dans $L^1$ .

Remarque

Le théorème contient celui du nœud Convergence des martingales pour la convergence presque sûre, puisque $E[|M_n|] \leqslant E[M_n^2]^{1/2}$ par Cauchy-Schwarz ; la preuve dans $L^2$ reste utile, parce qu'elle donne en plus la convergence dans $L^2$ et $M_n = E[M_\infty \mid \mathcal F_n]$ .

Repose sur

Inégalité des montées de Doob

Sert à

Théorème d'arrêt et uniforme intégrabilité