ChapitreMartingales

Théorème d'arrêt et uniforme intégrabilité

L'arrêt borné dit qu'un jeu équitable reste équitable quand on s'arrête à un instant décidé au vu du passé et borné à l'avance. Le chapitre étudie ce qui se passe sans borne. Il définit la tribu du passé avant un temps d'arrêt et la martingale arrêtée, puis l'uniforme intégrabilité, avec ses critères usuels : domination, borne dans $L^p$ pour $p > 1$, critère de de la Vallée-Poussin, espérances conditionnelles d'une même variable.

Le théorème de Vitali fait de l'uniforme intégrabilité exactement ce qui manque à la convergence en probabilité pour donner la convergence dans ${L^1}$. Les martingales uniformément intégrables sont alors celles qui convergent dans $L^1$, et ce sont les martingales fermées, de la forme $E[X \mid \mathcal F_n]$ ; le théorème de Lévy identifie leur limite. Pour elles, le théorème d'arrêt de Doob vaut pour tous les temps d'arrêt. La marche simple arrêtée à son premier passage en $1$ montre que l'hypothèse ne peut pas être levée. Les identités de Wald en tirent le temps moyen d'atteinte d'un niveau par une marche biaisée, et le temps moyen de la ruine du joueur.

Aucune forme du choix n'intervient, en dehors de l'existence des espérances conditionnelles $E[X \mid \mathcal F_n]$ que suppose le théorème de Lévy, héritée du choix dénombrable sauf pour des tribus engendrées par des suites d'événements.