Théorème 2Théorème d'arrêt et uniforme intégrabilité

Théorème de Vitali

Énoncé

(i) Soient $(X_n)$ des variables intégrables et $X$ une variable. La suite $(X_n)$ converge vers $X$ dans ${L^1}$ , c'est-à-dire $X$ est intégrable et $E[|X_n - X|] \to 0$ , si et seulement si $X_n \to X$ en probabilité et $(X_n)$ est uniformément intégrable.

(ii) En particulier, si $X_n \to X$ presque sûrement et si $(X_n)$ est uniformément intégrable, $X$ est intégrable et $E[X_n] \to E[X]$ .

Démonstration

(i) La condition est nécessaire. La convergence en moyenne entraîne la convergence en probabilité (Modes de convergence, (ii)). La suite des $E[|X_n - X|]$ , convergente, est bornée, et $E[|X_n|] \leqslant E[|X|] + E[|X_n - X|]$ : la suite est bornée dans $L^1$ .

Soit $\varepsilon > 0$ et $N$ tel que $E[|X_n - X|] < \frac\varepsilon2$ pour $n \geqslant N$ . La famille finie $X, X_0, \dots, X_{N-1}$ fournit un $\delta$ tel que $P(A) < \delta$ entraîne $E[|X|\mathbf 1_A] < \frac\varepsilon2$ et $E[|X_n|\mathbf 1_A] < \varepsilon$ pour $n < N$ (Uniforme intégrabilité, (i) et (ii)). Pour $n \geqslant N$ , $\begin{aligned} E[|X_n|\mathbf 1_A] &\leqslant E[|X|\mathbf 1_A] + E[|X_n - X|] \\ &< \varepsilon. \end{aligned}$ La caractérisation de Uniforme intégrabilité, (ii), conclut.

Elle est suffisante. Une suite extraite $(X_{n_k})$ converge presque sûrement vers $X$ (Modes de convergence, (iii)) ; par le lemme de Fatou (Lemme de Fatou), $E[|X|] \leqslant \liminf_k E[|X_{n_k}|] \leqslant \sup_n E[|X_n|],$ qui est fini par Uniforme intégrabilité, (ii) : $X$ est intégrable.

Soit $\varepsilon > 0$ , et $\delta$ tel que $P(A) < \delta$ entraîne $E[|X_n|\mathbf 1_A] \leqslant \varepsilon$ pour tout $n$ et $E[|X|\mathbf 1_A] \leqslant \varepsilon$ : on prend le plus petit des deux nombres que fournissent (ii) pour la suite et (i) pour $X$ , dans le même nœud. Avec $A_n = \{|X_n - X| > \varepsilon\}$ , $\begin{aligned} &E[|X_n - X|] \\ &\leqslant \varepsilon + E\big[|X_n - X|\mathbf 1_{A_n}\big] \\ &\leqslant \varepsilon + E[|X_n|\mathbf 1_{A_n}] + E[|X|\mathbf 1_{A_n}]. \end{aligned}$ Comme $P(A_n) \to 0$ , on a $P(A_n) < \delta$ pour $n$ assez grand, et alors $E[|X_n - X|] \leqslant 3\varepsilon$ .

(ii) La convergence presque sûre entraîne la convergence en probabilité (Modes de convergence, (i)), et $|E[X_n] - E[X]| \leqslant E[|X_n - X|]$ .

□

Remarque

Le théorème contient la convergence dominée (Convergence dominée, (i)) pour une probabilité, puisqu'une suite dominée est uniformément intégrable (Uniforme intégrabilité, (iii)), et il va plus loin. Sur $[0, 1[$ muni de la mesure de Lebesgue, soit, pour $n \geqslant 1$ , $X_n = n\,\mathbf 1_{I_n}$ , où $I_n = [\frac1{n+1}, \frac1n[$ est de longueur $\frac1{n(n+1)}$ . Chaque $\omega$ est dans un $I_n$ au plus, donc $X_n \to 0$ partout, et $E[X_n] = \frac1{n+1} \to 0$ .

La suite est uniformément intégrable : pour $n \leqslant a$ , $X_n\mathbf 1_{\{X_n > a\}} = 0$ , et pour $n > a$ , $E[X_n\mathbf 1_{\{X_n > a\}}] = \frac1{n+1} < \frac1a$ . Mais aucune variable intégrable ne la domine : $\sup_n X_n = \sum_n n\,\mathbf 1_{I_n}$ a pour espérance $\sum_n \frac1{n+1} = +\infty$ . Vitali s'applique, la convergence dominée non.

Remarque

Vitali a énoncé ce passage à la limite sous l'intégrale en 1907, dans Sull'integrazione per serie, pour une suite de fonctions qui converge presque partout et dont les intégrales sont uniformément petites sur les ensembles de petite mesure, la condition de Uniforme intégrabilité, (ii). C'est la forme du théorème que les martingales emploient : la convergence presque sûre est donnée par le théorème de Doob, et l'uniforme intégrabilité la transforme en convergence dans $L^1$ .

Repose sur

Uniforme intégrabilité et ses critères

Sert à

Convergence dans L¹ des martingales, martingales fermées