Convergence dans L¹ des martingales, martingales fermées

(a) entraîne (b). Une famille uniformément intégrable est bornée dans $L^1$ (Uniforme intégrabilité, (ii)). Par le théorème de Doob (Martingales bornées dans L¹), $(M_n)$ converge presque sûrement vers une variable intégrable $M_\infty$, donc en probabilité (Modes de convergence, (i)), puis dans $L^1$ par le théorème de Vitali (Théorème de Vitali).

La variable $M_\infty$ construite par ce théorème vaut $\limsup_n M_n$ sur l'événement où la suite converge dans $\mathbb R$, et $0$ ailleurs ; cet événement et cette limite supérieure ne font intervenir que les $M_n$, qui sont $\mathcal F_\infty$-mesurables, si bien que $M_\infty$ l'est aussi.

(b) entraîne (c). Soit $X$ la limite dans $L^1$. Pour $G \in \mathcal F_n$ et $m \geqslant n$, on a $E[M_m\mathbf 1_G] = E[M_n\mathbf 1_G]$ (Martingales, (ii)), et $$\begin{aligned} \big|E[M_m\mathbf 1_G] - E[X\mathbf 1_G]\big| &\leqslant E[|M_m - X|] \\ &\longrightarrow 0. \end{aligned}$$ Donc $E[X\mathbf 1_G] = E[M_n\mathbf 1_G]$ pour tout $G \in \mathcal F_n$ : la variable $M_n$, qui est $\mathcal F_n$-mesurable et intégrable, est l'espérance conditionnelle de $X$ sachant $\mathcal F_n$ (Espérance conditionnelle, caractérisation dans (ii)).

(c) entraîne (a). C'est le point (vi) du nœud Uniforme intégrabilité.

Conclusion. Sous ces conditions, la démonstration de (a) entraîne (b) donne la convergence presque sûre et dans $L^1$ vers $M_\infty$, $\mathcal F_\infty$-mesurable ; celle de (b) entraîne (c), avec $X = M_\infty$, donne $M_n = E[M_\infty \mid \mathcal F_n]$.