Théorème 4Théorème d'arrêt et uniforme intégrabilité

Théorème de Lévy et loi du 0-1 de Lévy ⋆

⋆ Axiome du choix

Les points (i) et (ii) supposent données les espérances conditionnelles $E[X \mid \mathcal F_n]$ , c'est-à-dire une suite $(M_n)$ de variables telle que $M_n = E[X \mid \mathcal F_n]$ ; leur existence hérite, pour une filtration quelconque, du choix dénombrable par Espérance conditionnelle, (i) et (ii), et n'en demande aucun quand chaque $\mathcal F_n$ est engendrée par une suite d'événements (point (v) du même nœud). C'est le seul ⋆ du chapitre, hérité et signalé ici une fois : les autres fiches portent sur des martingales et des variables données. La démonstration n'en fait aucun, et elle construit $E[X \mid \mathcal F_\infty]$ sans autre choix. Si l'on ne dispose que des classes de $L^1$ , passer à une suite de représentants est un choix dénombrable de même forme que celui hérité : le statut du résultat n'en change pas. Le point (iii) n'emploie aucune existence : l'espérance conditionnelle y est une constante explicite.

Énoncé

(i) Théorème de Lévy. Soient $X$ une variable intégrable et $(M_n)$ une suite de variables telle que $M_n = E[X \mid \mathcal F_n]$ pour tout $n$ . Alors $(M_n)$ converge presque sûrement et dans ${L^1}$ vers une variable $M_\infty$ , $\mathcal F_\infty$ -mesurable, qui vérifie $E[M_\infty\mathbf 1_G] = E[X\mathbf 1_G]$ pour tout $G \in \mathcal F_\infty$ : $E[X \mid \mathcal F_n] \longrightarrow E[X \mid \mathcal F_\infty].$ En particulier, si $X$ est $\mathcal F_\infty$ -mesurable, $E[X \mid \mathcal F_n] \to X$ presque sûrement et dans $L^1$ .

(ii) Loi du 0-1 de Lévy. Si $A \in \mathcal F_\infty$ , la suite $P(A \mid \mathcal F_n) = E[\mathbf 1_A \mid \mathcal F_n]$ tend presque sûrement vers $\mathbf 1_A$ .

(iii) Si les variables $(X_k)_{k \geqslant 1}$ sont indépendantes et $\mathcal F_n = \sigma(X_1, \dots, X_n)$ , tout événement de la tribu asymptotique $\mathcal T$ a pour probabilité $0$ ou $1$ .

Démonstration

(i) La suite $(M_n)$ est une martingale (Martingales, (i), seconde assertion), qui vérifie la condition (c) du nœud Martingales fermées : elle converge presque sûrement et dans $L^1$ vers $M_\infty$ , $\mathcal F_\infty$ -mesurable, et $M_n = E[M_\infty \mid \mathcal F_n]$ . Pour $G \in \mathcal F_n$ , on a donc $E[M_\infty\mathbf 1_G] = E[M_n\mathbf 1_G] = E[X\mathbf 1_G].$

La réunion $\mathcal C$ des $\mathcal F_n$ est un π-système, puisque deux de ses éléments appartiennent à une même tribu $\mathcal F_n$ , la suite étant croissante ; elle contient $\Omega$ et engendre $\mathcal F_\infty$ . Posons, pour $G \in \mathcal F_\infty$ , $\begin{aligned} \mu(G) &= E\big[(M_\infty^+ + X^-)\mathbf 1_G\big], \\ \nu(G) &= E\big[(X^+ + M_\infty^-)\mathbf 1_G\big]. \end{aligned}$ Ce sont des mesures finies sur $\mathcal F_\infty$ (Convergence monotone, (iii)), égales sur $\mathcal C$ par l'égalité précédente, dont tous les termes sont finis. Par le lemme de Dynkin (Classes monotones, (ii)), avec la suite constante égale à $\Omega$ , elles sont égales sur $\mathcal F_\infty$ , d'où $E[M_\infty\mathbf 1_G] = E[X\mathbf 1_G]$ pour tout $G \in \mathcal F_\infty$ .

Si $X$ est $\mathcal F_\infty$ -mesurable, l'événement $G = \{M_\infty > X\}$ appartient à $\mathcal F_\infty$ , et $E[(M_\infty - X)\mathbf 1_G] = 0$ ; la variable positive $(M_\infty - X)\mathbf 1_G$ est donc nulle presque sûrement (Intégrale, (iv)), c'est-à-dire $P(G) = 0$ . De même $P(M_\infty < X) = 0$ , et $M_\infty = X$ presque sûrement.

(ii) On applique (i) à $X = \mathbf 1_A$ , qui est $\mathcal F_\infty$ -mesurable.

(iii) Soit $A \in \mathcal T$ . Par regroupement (Indépendance, (ii)), $\mathcal F_n$ est indépendante de $\sigma(X_k : k > n)$ , qui contient $A$ ; pour $G \in \mathcal F_n$ , $E[\mathbf 1_A\mathbf 1_G] = P(A)P(G)$ , si bien que la constante $P(A)$ est $E[\mathbf 1_A \mid \mathcal F_n]$ .

Comme $A \in \mathcal T \subset \sigma(X_k : k \geqslant 1) = \mathcal F_\infty$ , (ii) donne $P(A) = \mathbf 1_A$ presque sûrement, ce qui n'est possible que si $P(A) \in \{0, 1\}$ .

□

Remarque

Sur $\Omega = [0, 1[$ , muni de la tribu borélienne et de la mesure de Lebesgue, soit $\mathcal F_n$ la tribu engendrée par les intervalles dyadiques $[k2^{-n}, (k + 1)2^{-n}[$ . Pour $f$ intégrable, $E[f \mid \mathcal F_n]$ vaut, sur chacun de ces intervalles, la moyenne de $f$ sur l'intervalle (Espérance conditionnelle, première remarque). Tout intervalle ouvert est réunion dénombrable d'intervalles dyadiques, donc $\mathcal F_\infty$ est la tribu borélienne, et (i) dit que les moyennes de $f$ sur les intervalles dyadiques qui contiennent $\omega$ tendent vers $f(\omega)$ pour presque tout $\omega$ . C'est une forme dyadique du théorème de différentiation de Lebesgue, dont la forme générale, pour des intervalles centrés en $\omega$ , est admise ici.

Pour $f(\omega) = \omega$ , la moyenne est le milieu de l'intervalle, et $E\big[|f - E[f \mid \mathcal F_n]|\big] = 2^{-n}/4$ , soit $0{,}125$ pour $n = 1$ et environ $0{,}000244$ pour $n = 10$ : l'erreur est le quart de la longueur des intervalles.

Remarque

L'erreur la plus répandue est de croire que $E[X \mid \mathcal F_n]$ tend toujours vers $X$ . La limite est $E[X \mid \mathcal F_\infty]$ : si $X$ est indépendante de toutes les $\mathcal F_n$ , par exemple si la filtration est triviale, la suite est constante, égale à $E[X]$ . On ne retrouve $X$ que si l'information accumulée la détermine.

Remarque

Lévy a énoncé la loi (ii) en 1935, puis l'a reprise sous une forme générale dans son traité Théorie de l'addition des variables aléatoires (1937, §41), en remarquant qu'elle contient une loi du 0-1, qu'il attribuait à Jessen en 1935 et rattache à Kolmogorov dans le traité : c'est le point (iii), qui redémontre la loi du 0-1 du nœud Loi du 0-1.

Le mot de martingale vient de Ville, qui en donne deux définitions dans sa thèse (1939). Lévy écrivait plus tard qu'il ne connaissait pas ce mot en 1937 ; il voyait dans ces suites celles qu'il avait étudiées dès 1935, et s'est peu intéressé ensuite à la théorie qu'elles ont fait naître, dont Doob a montré la puissance.

Repose sur

Convergence dans L¹ des martingales, martingales fermées

Sert à

Aucune fiche de ce graphe ne l'utilise encore.