Uniforme intégrabilité et ses critères

(i) Les variables $|X|\mathbf 1_{\{|X| > k\}}$, $k \in \mathbb N$, tendent simplement vers $0$, puisque $X$ est à valeurs réelles, et sont dominées par $|X|$ : par convergence dominée (Convergence dominée, (i)), leurs espérances tendent vers $0$, et, par croissance, il en va de même pour un seuil réel $a \to +\infty$.

Soit $\varepsilon > 0$, et $a > 0$ tel que $E[|X|\mathbf 1_{\{|X| > a\}}] < \frac\varepsilon2$. Pour tout événement $A$, $$E[|X|\mathbf 1_A] \leqslant a\,P(A) + E\big[|X|\mathbf 1_{\{|X| > a\}}\big],$$ et $\delta = \varepsilon/(2a)$ convient. Pour une famille finie, le sup est un maximum de quantités qui tendent vers $0$.

(ii) Si la famille est uniformément intégrable, soit $a > 0$ tel que le sup soit au plus $1$ : alors $E[|X_i|] \leqslant a + 1$ pour tout $i$. Pour $\varepsilon > 0$, soit $a > 0$ tel que le sup soit au plus $\frac\varepsilon2$ ; la majoration de (i), écrite pour chaque $X_i$ avec ce seuil commun, montre que $\delta = \varepsilon/(2a)$ convient pour tous les $X_i$.

Réciproquement, soit $K = \sup_i E[|X_i|]$, $\varepsilon > 0$ et $\delta$ associé. Pour $a > K/\delta$, l'inégalité de Markov (Espérance, variance, (iii)) donne $P(|X_i| > a) \leqslant K/a < \delta$, donc $E[|X_i|\mathbf 1_{\{|X_i| > a\}}] \leqslant \varepsilon$ pour tout $i$.

(iii) On a $|X_i|\mathbf 1_{\{|X_i| > a\}} \leqslant Y\mathbf 1_{\{Y > a\}}$, et l'on applique (i) à $Y$.

(iv) Sur $\{|X_i| > a\}$, on a $|X_i| = |X_i|^p/|X_i|^{p-1} \leqslant |X_i|^p/a^{p-1}$ ; on prend l'espérance.

(v) La condition suffit. Soit $C = \sup_i E[\varphi(|X_i|)]$ et $m > 0$. Il existe $c$ tel que $\varphi(x) \geqslant m\,x$ pour $x \geqslant c$ ; pour $a \geqslant c$, on a $|X_i|\mathbf 1_{\{|X_i| > a\}} \leqslant \varphi(|X_i|)/m$, d'où un sup au plus $C/m$. La fonction $\varphi$, croissante, est borélienne, puisque chaque $\{\varphi > t\}$ est un intervalle.

Elle est nécessaire. Posons $a_0 = 0$ et, pour $k \geqslant 1$, soit $a_k$ le plus petit entier $a \geqslant a_{k-1} + 1$ tel que $$\sup_i E\big[|X_i|\mathbf 1_{\{|X_i| > a\}}\big] \leqslant 2^{-k},$$ qui existe par hypothèse ; aucun choix n'intervient, et $a_k \geqslant k$. On pose $\varphi(x) = \sum_{k \geqslant 1}(x - a_k)^+$, somme finie pour chaque $x$, puisque ses termes sont nuls dès que $a_k \geqslant x$ ; $\varphi$ est croissante et positive.

Comme $(|X_i| - a_k)^+ \leqslant |X_i|\mathbf 1_{\{|X_i| > a_k\}}$, la convergence monotone (Convergence monotone, (ii)) donne $E[\varphi(|X_i|)] \leqslant \sum_k 2^{-k} = 1$ pour tout $i$. Enfin, pour $K \geqslant 1$ et $x \geqslant 2a_K$, chacun des $K$ premiers termes vaut au moins $x - a_K \geqslant \frac x2$, d'où $\varphi(x) \geqslant \frac{K}{2}\,x$ : $\varphi(x)/x \to +\infty$.

(vi) L'événement $\{Y_i > a\}$ appartient à $\mathcal G_i$, et la propriété caractéristique (Espérance conditionnelle, caractérisation dans (ii)) donne $E[Y_i\mathbf 1_{\{Y_i > a\}}] = E[X\mathbf 1_{\{Y_i > a\}}]$ ; de même avec $\{Y_i < -a\}$. Pour $a \geqslant 0$, on en tire $$\begin{aligned} &E\big[|Y_i|\mathbf 1_{\{|Y_i| > a\}}\big] \\ &= E\big[X(\mathbf 1_{\{Y_i > a\}} - \mathbf 1_{\{Y_i < -a\}})\big] \\ &\leqslant E\big[|X|\mathbf 1_{\{|Y_i| > a\}}\big]. \end{aligned}$$

Avec $a = 0$, cela donne $E[|Y_i|] \leqslant E[|X|]$, puis $P(|Y_i| > a) \leqslant E[|X|]/a$ par l'inégalité de Markov. Pour $\varepsilon > 0$, soit $\delta$ associé à $X$ par (i) : dès que $a > E[|X|]/\delta$, le second membre est majoré par $\varepsilon$ pour tout $i$. Aucune existence d'espérance conditionnelle n'est employée : les $Y_i$ sont données.