Théorème d'arrêt de Doob

(i) Mesurabilité. Pour un borélien $B$ et $n \in \mathbb N$, $\{M_T \in B\} \cap \{T = n\} = \{M_n \in B\} \cap \{T = n\}$ appartient à $\mathcal F_n$. L'événement $\{M_T \in B\}$ est la réunion de ces événements et de $\{M_\infty \in B\} \cap \{T = +\infty\}$, qui sont tous dans $\mathcal F_\infty$ : il appartient à $\mathcal F_T$.

Intégrabilité. Par Martingales fermées, $E[M_n\mathbf 1_G] = E[M_\infty\mathbf 1_G]$ pour $G \in \mathcal F_n$. Avec $G = \{T = n, M_n > 0\}$ puis $G = \{T = n, M_n < 0\}$, il vient $$E\big[|M_n|\mathbf 1_{\{T = n\}}\big] \leqslant E\big[|M_\infty|\mathbf 1_{\{T = n\}}\big].$$ En sommant sur $n \in \mathbb N$ par convergence monotone (Convergence monotone, (ii)), et en ajoutant le terme de $\{T = +\infty\}$, où $M_T = M_\infty$, on obtient $E[|M_T|] \leqslant E[|M_\infty|]$.

Propriété caractéristique. Soit $A \in \mathcal F_T$. Pour $n \in \mathbb N$, $A \cap \{T = n\} \in \mathcal F_n$, donc $$E\big[M_T\mathbf 1_{A \cap \{T = n\}}\big] = E\big[M_\infty\mathbf 1_{A \cap \{T = n\}}\big],$$ et l'égalité est triviale sur $A \cap \{T = +\infty\}$. Les sommes partielles $M_T\mathbf 1_{A \cap \{T \leqslant n\}}$ sont dominées par $|M_T|$, celles de $M_\infty$ par $|M_\infty|$ ; par convergence dominée (Convergence dominée, (i)), on peut sommer sur $n$, d'où $E[M_T\mathbf 1_A] = E[M_\infty\mathbf 1_A]$.

(ii) Soit $A \in \mathcal F_S$. Comme $\mathcal F_S \subset \mathcal F_T$ (Martingale arrêtée, (i)), (i) appliqué à $T$ puis à $S$ donne $$E[M_T\mathbf 1_A] = E[M_\infty\mathbf 1_A] = E[M_S\mathbf 1_A],$$ et $M_S$ est $\mathcal F_S$-mesurable et intégrable par (i). Le temps constant $0$ est un temps d'arrêt ; avec $S = 0$ et $A = \Omega$, on obtient $E[M_T] = E[M_0]$.

(iii) La variable $M_T$ est définie presque sûrement, puisque $T$ est fini presque sûrement. La martingale arrêtée est une martingale (Martingale arrêtée, (ii)) ; si elle est uniformément intégrable, elle converge dans $L^1$ vers sa limite presque sûre (Martingales fermées). Comme $T$ est fini presque sûrement, $M_{T \wedge n} = M_T$ dès que $n \geqslant T$, et cette limite est $M_T$. Donc $M_T$ est intégrable et $$E[M_T] = \lim_n E[M_{T \wedge n}] = E[M_0],$$ puisque $E[M_{T \wedge n}] = E[M_0]$ (Martingales, (ii)). Une suite dominée par une variable intégrable est uniformément intégrable (Uniforme intégrabilité, (iii)).

(iv) La suite $(S_n)$ est une martingale (Martingales, (i), première assertion), et $T$ un temps d'arrêt, puisque $\{T = n\} = \{S_1 \neq 1, \dots, S_{n-1} \neq 1, S_n = 1\}$. La martingale arrêtée $M_n = S_{T \wedge n}$ (Martingale arrêtée, (ii)) vérifie $M_n \leqslant 1$, puisque les pas valent $\pm 1$ et que la marche part de $0$, et $E[M_n] = 0$. Donc $$E[|M_n|] = 2E[M_n^+] - E[M_n] \leqslant 2 :$$ la martingale est bornée dans $L^1$, et elle converge presque sûrement (Martingales bornées dans L¹).

Sur $\{T = +\infty\}$, on a $M_n = S_n$ et $|M_{n+1} - M_n| = 1$ pour tout $n$ : la suite n'y est pas de Cauchy, et cet événement est donc négligeable. Ainsi $T < +\infty$ presque sûrement, et $M_n \to S_T = 1$ presque sûrement.

Si $(M_n)$ était uniformément intégrable, elle convergerait dans $L^1$ vers $1$ (Martingales fermées), et $E[M_n] = 0$ tendrait vers $1$ : c'est impossible.