Ruine du joueur

(i) Soient $x_0 = x, x_1, \dots, x_n$ tels que $A = \{X_0 = x_0, \dots, X_n = x_n\}$ soit de probabilité non nulle ; c'est un événement de $\mathcal F_n$. Si $x_n \in \{0, N\}$, alors $T \leqslant n$ sur $A$ et $X_{n+1} = x_n$. Sinon $T > n$ sur $A$, et $X_{n+1} = x_n + \varepsilon_{n+1}$, où $\varepsilon_{n+1}$ est indépendante de $\mathcal F_n$ par regroupement (Indépendance, (ii)). Dans les deux cas, $P(X_{n+1} = y \mid A) = Q(x_n, y)$, et l'on conclut par la forme conditionnelle (Chaînes de Markov, (i)).

(ii) $\{T = n\} = \{S_0, \dots, S_{n-1} \notin \{0, N\},\ S_n \in \{0, N\}\} \in \mathcal F_n$. Si $x \in \{0, N\}$, alors $T = 0$ et il n'y a rien à démontrer. Si $0 < x < N$, sur l'événement $\{T > jN\}$, qui appartient à $\mathcal F_{jN}$, la fortune vaut au moins $1$ à l'instant $jN$ ; si les $N$ parties suivantes sont gagnées, elle atteint $N$ avant l'instant $(j + 1)N$. Ces $N$ parties étant indépendantes de $\mathcal F_{jN}$, $$\begin{aligned} &P(T > (j + 1)N) \\ &\leqslant (1 - p^N)\,P(T > jN), \end{aligned}$$ d'où $P(T > jN) \leqslant (1 - p^N)^j$. Comme $T = \sum_{k \geqslant 0}\mathbf 1_{\{T > k\}}$, la convergence monotone (Convergence monotone) donne, en majorant chacun des $N$ termes $P(T > k)$, $jN \leqslant k < (j + 1)N$, par $P(T > jN)$, $$\begin{aligned} E[T] &= \sum_{k \geqslant 0} P(T > k) \\ &\leqslant N\sum_{j \geqslant 0}(1 - p^N)^j = \frac{N}{p^N}. \end{aligned}$$

(iii) Stratégie. Pour chaque martingale $(M_n)$ ci-dessous, $\min(T, n)$ est un temps d'arrêt borné par $n$, car $\{\min(T, n) = n\} = \{T \leqslant n - 1\}^c \in \mathcal F_n$, et l'arrêt borné (Martingales, (iii)) donne $E[M_{\min(T, n)}] = E[M_0]$ ; on fait ensuite tendre $n$ vers l'infini.

La suite $S_n$ est une martingale (Martingales, (i), première assertion, la constante $x$ ne changeant rien). Comme $0 \leqslant S_{\min(T, n)} \leqslant N$ et que $S_{\min(T, n)} \to S_T$ presque sûrement, la convergence dominée (Convergence dominée, (i)) donne $E[S_T] = x$. Or $S_T \in \{0, N\}$, donc $N\,P(S_T = N) = x$.

La suite $S_n^2 - n$ est aussi une martingale : $S_n$ étant bornée par $|x| + n$ et $\mathcal F_n$-mesurable, et $\varepsilon_{n+1}$ indépendante de $\mathcal F_n$ (Espérance conditionnelle, (iv)), $$\begin{aligned} &E[S_{n+1}^2 \mid \mathcal F_n] \\ &= S_n^2 + 2S_nE[\varepsilon_{n+1}] + E[\varepsilon_{n+1}^2] = S_n^2 + 1. \end{aligned}$$ Donc $E[S_{\min(T, n)}^2] = x^2 + E[\min(T, n)]$. Quand $n \to \infty$, le premier membre tend vers $E[S_T^2] = N^2\cdot\frac xN = Nx$ par convergence dominée, le second vers $x^2 + E[T]$ par convergence monotone, d'où $E[T] = x(N - x)$.

(iv) De même, $r^{S_n}$ est une martingale, puisque $E[r^{\varepsilon}] = p\,\frac qp + q\,\frac pq = 1$ et que $r^{S_n}$ est bornée et $\mathcal F_n$-mesurable ; et $0 < r^{S_{\min(T, n)}} \leqslant \max(1, r^N)$. Avec $h = P(S_T = N)$, l'arrêt borné et la convergence dominée donnent $$h\,r^N + (1 - h) = r^x,$$ d'où la valeur de $h$, puisque $r \neq 1$. Enfin $S_n - n(p - q)$ est une martingale, et $E[S_T] - (p - q)E[T] = x$, soit $Nh - (p - q)E[T] = x$.