Identités de Wald et temps moyen d'atteinte

(i) Pour $k \geqslant 1$, l'événement $\{T \geqslant k\} = \{T > k - 1\}$ appartient à $\mathcal F_{k-1}$ (Martingale arrêtée, (i)), et $X_k$ en est indépendante. Les variables ayant même loi (Espérance, variance, (i) et (iv)), $$E\big[|X_k|\mathbf 1_{\{T \geqslant k\}}\big] = E[|X_1|]\,P(T \geqslant k),$$ et de même, sans valeur absolue, $E[X_k\mathbf 1_{\{T \geqslant k\}}] = E[X_1]\,P(T \geqslant k)$.

Comme $T = \sum_{k \geqslant 1}\mathbf 1_{\{T \geqslant k\}}$, la convergence monotone (Convergence monotone, (ii)) donne $E[T] = \sum_{k \geqslant 1}P(T \geqslant k)$, et la variable $Z = \sum_{k \geqslant 1}|X_k|\mathbf 1_{\{T \geqslant k\}}$ est d'espérance $E[|X_1|]\,E[T] < +\infty$.

Comme $E[T] < +\infty$, $T$ est fini presque sûrement (Intégrale, (iv)), et alors $$S_{T \wedge n} = \sum_{k=1}^n X_k\mathbf 1_{\{T \geqslant k\}} \longrightarrow S_T,$$ ces sommes étant dominées par $Z$. Par convergence dominée (Convergence dominée, (i)), $S_T$ est intégrable et $$\begin{aligned} E[S_T] &= \lim_n \sum_{k=1}^n E[X_1]\,P(T \geqslant k) \\ &= E[X_1]\,E[T]. \end{aligned}$$

(ii) Pour $j < k$, la variable $Y = X_j\mathbf 1_{\{T \geqslant j\}}\mathbf 1_{\{T \geqslant k\}}$ est $\mathcal F_{k-1}$-mesurable et de carré intégrable, et $X_k$ est indépendante de $\mathcal F_{k-1}$ et centrée : $E[YX_k] = E[Y]\,E[X_k] = 0$ (Espérance, variance, (ii) et (iv)). De même, $E[X_k^2\mathbf 1_{\{T \geqslant k\}}] = \sigma^2P(T \geqslant k)$. En développant le carré, pour $m < n$, $$\begin{aligned} &E\big[(S_{T \wedge n} - S_{T \wedge m})^2\big] \\ &= \sigma^2\sum_{k = m+1}^n P(T \geqslant k), \end{aligned}$$ et, avec $m = 0$, $E[S_{T \wedge n}^2] = \sigma^2\,E[T \wedge n]$.

Quand $n \to \infty$, $S_{T \wedge n} \to S_T$ presque sûrement. Le lemme de Fatou (Lemme de Fatou) donne d'abord $E[S_T^2] \leqslant \sigma^2E[T] < +\infty$, puis $$E\big[(S_T - S_{T \wedge m})^2\big] \leqslant \sigma^2\sum_{k > m}P(T \geqslant k),$$ reste d'une série convergente, qui tend vers $0$ quand $m \to \infty$.

On écrit $S_T^2 - S_{T \wedge m}^2 = (S_T - S_{T \wedge m})(S_T + S_{T \wedge m})$. Par l'inégalité de Cauchy-Schwarz (Espérance, variance, (ii)), et comme $(u + v)^2 \leqslant 2u^2 + 2v^2$, $$\begin{aligned} &\big|E[S_T^2] - E[S_{T \wedge m}^2]\big| \\ &\leqslant E\big[(S_T - S_{T \wedge m})^2\big]^{1/2} \cdot \big(4\sigma^2E[T]\big)^{1/2}, \end{aligned}$$ qui tend vers $0$. Donc $E[S_T^2] = \lim_m \sigma^2E[T \wedge m] = \sigma^2E[T]$, par convergence monotone.

(iii) On a $E[X_1] = p - q > 0$, et $T_b$ est un temps d'arrêt, puisque $\{T_b = n\} = \{S_1 \neq b, \dots, S_{n-1} \neq b, S_n = b\}$. Les pas valant $\pm 1$ et la marche partant de $0 < b$, on a $S_k < b$ pour $k < T_b$, donc $S_{T_b \wedge n} \leqslant b$ pour tout $n$.

Le temps d'arrêt $T_b \wedge n$ (Martingale arrêtée, (i)) est borné, et (i) donne $$(p - q)\,E[T_b \wedge n] = E[S_{T_b \wedge n}] \leqslant b.$$ Par convergence monotone, $E[T_b] \leqslant b/(p - q) < +\infty$. On peut alors appliquer (i) à $T_b$ lui-même : comme $S_{T_b} = b$ presque sûrement, $b = (p - q)\,E[T_b]$.

(iv) Si $E[T_1]$ était fini, $T_1$ serait fini presque sûrement, et (i) donnerait $E[S_{T_1}] = E[T_1] \cdot 0 = 0$, alors que $S_{T_1} = 1$ presque sûrement.