Tribu du passé, martingale arrêtée, arrêt borné

(i) On a $\{T \leqslant n\} = \bigcup_{k \leqslant n}\{T = k\}$, réunion finie d'événements de $\mathcal F_k \subset \mathcal F_n$, et $\{T > n\}$ est son complémentaire. Pour $T \wedge n$, l'événement $\{T \wedge n = k\}$ vaut $\{T = k\}$ si $k < n$, $\{T > n - 1\} \in \mathcal F_{n-1}$ si $k = n \geqslant 1$, $\Omega$ si $k = n = 0$, et $\varnothing$ si $k > n$.

La partie $\mathcal F_T$ contient $\Omega$, puisque $\{T = n\} \in \mathcal F_n$. Elle est stable par complémentaire, car $$\begin{aligned} &A^c \cap \{T = n\} \\ &= \{T = n\} \setminus (A \cap \{T = n\}), \end{aligned}$$ et par réunion dénombrable, l'intersection avec $\{T = n\}$ se distribuant sur la réunion ; le complémentaire et la réunion restent dans $\mathcal F_\infty$, qui est une tribu.

Pour $m \in \mathbb N$, l'intersection $\{T = m\} \cap \{T = n\}$ est vide ou égale à $\{T = n\}$, donc $\{T = m\} \in \mathcal F_T$ ; $\{T = +\infty\}$ est le complémentaire de leur réunion. Comme $T$ ne prend qu'un nombre dénombrable de valeurs, l'image réciproque de toute partie de $\mathbb N \cup \{+\infty\}$ est une réunion dénombrable de ces événements : $T$ est $\mathcal F_T$-mesurable.

Si $S \leqslant T$ et $A \in \mathcal F_S$, on a $S \leqslant n$ sur $\{T = n\}$, d'où $$\begin{aligned} &A \cap \{T = n\} \\ &= \bigcup_{k \leqslant n}\big(A \cap \{S = k\}\big) \cap \{T = n\}, \end{aligned}$$ qui appartient à $\mathcal F_n$ ; donc $A \in \mathcal F_T$.

Si $T \leqslant N$ et $B$ est un borélien, $\{M_T \in B\} \cap \{T = n\} = \{M_n \in B\} \cap \{T = n\}$ appartient à $\mathcal F_n$ ; la réunion de ces événements pour $n \leqslant N$ est $\{M_T \in B\}$, qui est donc dans $\mathcal F_\infty$, puis dans $\mathcal F_T$.

(ii) Pour tout $n$, $$\begin{aligned} M_{T \wedge n} &= M_0 \\ &\quad + \sum_{k=0}^{n-1}\mathbf 1_{\{T > k\}}(M_{k+1} - M_k), \end{aligned}$$ variable $\mathcal F_n$-mesurable, et intégrable, puisque $|M_{T \wedge n}| \leqslant |M_0| + \cdots + |M_n|$.

Pour $G \in \mathcal F_n$, l'événement $G \cap \{T > n\}$ appartient à $\mathcal F_n$, et la propriété caractéristique de $E[M_{n+1} \mid \mathcal F_n] = M_n$ (Espérance conditionnelle, caractérisation dans (ii)) donne $$\begin{aligned} &E\big[(M_{T \wedge (n+1)} - M_{T \wedge n})\mathbf 1_G\big] \\ &= E\big[(M_{n+1} - M_n)\mathbf 1_{G \cap \{T > n\}}\big] = 0. \end{aligned}$$

(iii) Les variables $M_S$ et $M_T$ sont majorées en valeur absolue par $|M_0| + \cdots + |M_N|$, donc intégrables. Soit $A \in \mathcal F_S$. Pour $k \leqslant N$, l'événement $A \cap \{S = k\}$ appartient à $\mathcal F_k$, et $E[M_N \mid \mathcal F_k] = M_k$ (Martingales, (ii)) ; ainsi $$\begin{aligned} E\big[M_N\mathbf 1_{A \cap \{S = k\}}\big] &= E\big[M_k\mathbf 1_{A \cap \{S = k\}}\big] \\ &= E\big[M_S\mathbf 1_{A \cap \{S = k\}}\big]. \end{aligned}$$ En sommant sur $k \in \{0, \dots, N\}$, on obtient $E[M_N\mathbf 1_A] = E[M_S\mathbf 1_A]$.

Comme $A \in \mathcal F_T$ par (i), le même calcul, fait avec $T$, donne $E[M_N\mathbf 1_A] = E[M_T\mathbf 1_A]$, d'où l'égalité annoncée. La variable $M_S$ est $\mathcal F_S$-mesurable par (i) : c'est bien l'espérance conditionnelle de $M_T$ sachant $\mathcal F_S$. Avec $S = 0$ et $A = \Omega$, on obtient $E[M_T] = E[M_0]$.