Théorème 3Analyse fonctionnelle

Théorème de représentation de Riesz ⋆

⋆ Axiome du choix

L'existence, en (i), utilise $F^\perp \neq \{0\}$ , tiré du théorème de projection (Espaces de Hilbert, (iii)), dont la démonstration choisit une suite minimisante : c'est un usage du choix dénombrable. Le point (ii) n'utilise aucun choix. Le cas général n'est pas démontrable dans $\mathsf{ZF}$ : B. Blackadar, I. Farah et A. Karagila (« Hilbert spaces without the Countable Axiom of Choice », Münster J. Math., 2024, arXiv:2304.09602, 6.0.6 et 7.0.4) donnent, dans un modèle de $\mathsf{ZF}$ , un espace muni d'un produit scalaire, où toute suite de Cauchy converge, sur lequel une forme linéaire continue n'est représentée par aucun vecteur ; ils y reprennent, dans un modèle de $\mathsf{ZF}$ , un exemple de N. Brunner, K. Svozil et M. Baaz (Math. Logic Quart. 42, 1996, p. 319-340). Ils travaillent sur $\mathbb C$ ; le cas réel se traite de même (définition 2.0.1).

Énoncé

(i) Soit $H$ un espace de Hilbert. Pour toute forme linéaire continue $\varphi \in H'$ , il existe un unique $a \in H$ tel que $\varphi(x) = \langle a, x \rangle$ pour tout $x$ , et $|||\varphi||| = \|a\|$ . L'application $a \mapsto \langle a, \cdot \rangle$ est une bijection linéaire isométrique de $H$ sur $H'$ .

(ii) Sans choix. Si $H$ possède une suite dont l'ensemble des termes est dense, (i) se démontre sans aucun choix.

Démonstration

(i) Par Cauchy-Schwarz, $|\langle a, x \rangle| \leqslant \|a\|\,\|x\|$ : la forme $\langle a, \cdot \rangle$ est continue (Opérateurs continus, (i)), de norme au plus $\|a\|$ , atteinte en $x = a$ . Si $\langle a, \cdot \rangle = \langle a', \cdot \rangle$ , en évaluant en $a - a'$ on trouve $\|a - a'\|^2 = 0$ .

Pour l'existence, si $\varphi = 0$ , $a = 0$ convient. Sinon, le noyau $F$ de $\varphi$ est un sous-espace fermé, image réciproque de $\{0\}$ , distinct de $H$ ; par le théorème de projection (Espaces de Hilbert, (iii)), $F^\perp \neq \{0\}$ .

Soit $z \in F^\perp$ non nul ; quitte à le diviser par $\varphi(z)$ , qui n'est pas nul puisque $z \notin F$ , on suppose $\varphi(z) = 1$ . Pour tout $x$ , $x - \varphi(x)z \in F$ , donc $\langle x - \varphi(x)z, z \rangle = 0$ , c'est-à-dire $\varphi(x) = \langle z/\|z\|^2, x \rangle.$

(ii) On reprend la démonstration de (i). L'existence d'un $x \notin F$ est une seule existence invoquée ; le projeté $p$ de $x$ sur le sous-espace fermé $F$ est obtenu sans choix (Espaces de Hilbert, (iv)), et $z = x - p$ est un élément non nul de $F^\perp$ (Espaces de Hilbert, (iii)). Le reste est inchangé.

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Remarque

Le théorème identifie un espace de Hilbert à son dual, ce qu'aucun autre espace de Banach n'autorise en général. Le dual de $L^1$ pour la mesure de comptage sur $\mathbb N$ , par exemple, s'identifie à l'espace $\ell^\infty$ des suites bornées, qui est strictement plus gros ; c'est un cas du théorème de dualité du nœud Dual de Lᵖ, qui repose sur celui-ci par l'intermédiaire du théorème de Radon-Nikodym. C'est cette identification qui rend les espaces de Hilbert si commodes pour résoudre des équations, par exemple au moyen du théorème de Lax-Milgram.

Remarque

Dans un espace qui possède une suite dense, le vecteur $a$ a aussi une expression explicite. Le procédé de Gram-Schmidt y construit sans choix une base hilbertienne $(e_n)$ (Bases hilbertiennes, (iii)), et $a = \sum_n \varphi(e_n)\,e_n$ : ses coordonnées sont les valeurs de $\varphi$ sur la base. On l'établit en appliquant $\varphi$ aux sommes partielles $s_N = \sum_{n \leqslant N} \varphi(e_n) e_n$ , ce qui donne $\|s_N\|^2 = \varphi(s_N) \leqslant |||\varphi|||\,\|s_N\|$ , d'où la convergence de $\sum \varphi(e_n)^2$ , donc celle de la série qui définit $a$ . Alors $\langle a, e_n \rangle = \varphi(e_n)$ : les formes $\varphi$ et $\langle a, \cdot \rangle$ , continues, coïncident sur les $e_n$ , donc sur l'espace qu'ils engendrent, qui est dense, et elles sont égales.

Repose sur

Espaces de Hilbert et théorème de projection Applications linéaires continues et dual topologique

Sert à

Espaces Lᵖ, Radon-Nikodym et dualité Opérateurs autoadjoints d'un espace de Hilbert