Inclusions entre les espaces Lᵖ

(i) Pour $p = +\infty$, $|f|^r \leqslant \|f\|_\infty^r$ presque partout, et l'on intègre.

Pour $p$ fini, posons $P = p/r > 1$ et $Q$ son conjugué, de sorte que $\frac1Q = 1 - \frac rp$. La fonction $|f|^r$ est dans $\mathcal L^P$, puisque $(|f|^r)^P = |f|^p$, et la constante $1$ dans $\mathcal L^Q$, puisque $\mu$ est finie.

L'inégalité de Hölder (Inégalité de Hölder) donne $$\int |f|^r \leqslant \Big(\int |f|^p\Big)^{r/p}\mu(X)^{1 - r/p},$$ et l'on élève à la puissance $\frac1r$ (Puissances réelles, (iii)).

(ii) Soit $a \in \ell^r$ non nulle ; quitte à la diviser par $\|a\|_r$, on peut supposer $\|a\|_r = 1$. Alors $|a_n| \leqslant 1$ pour tout $n$, d'où $|a_n|^p \leqslant |a_n|^r$ (Puissances réelles, (vi)) et $\sum_n |a_n|^p \leqslant 1$ ; pour $p = +\infty$, $\sup |a_n| \leqslant 1$.

(iii) Pour $s \neq 1$, la fonction $x \mapsto \frac{x^{1-s}}{1-s}$ a pour dérivée $x^{-s}$ sur $]0, +\infty[$ (Puissances réelles, (iv)), et $\ln$ a pour dérivée $\frac1x$. Le théorème fondamental (Théorème fondamental) et le point (ii) du nœud Signe de la dérivée donnent, pour $0 < \varepsilon < 1$, $$\begin{aligned} \int_\varepsilon^1 x^{-s}\,dx &= \frac{1 - \varepsilon^{1-s}}{1 - s}, \\ \int_\varepsilon^1 \frac{dx}x &= -\ln \varepsilon. \end{aligned}$$

Ce sont aussi des intégrales pour $\lambda$ (Riemann et Lebesgue). Pour $\varepsilon = \frac1n$, les fonctions $x^{-s}\mathbf 1_{[1/n, 1]}$ croissent vers $x^{-s}\mathbf 1_{]0, 1]}$, et la convergence monotone donne la limite des intégrales.

Si $s < 1$, $(\frac1n)^{1-s} \to 0$ par continuité en $0$, et l'intégrale vaut $\frac1{1-s}$.

Si $s > 1$, $(\frac1n)^{1-s} = n^{s-1}$ n'est pas bornée, $t \mapsto t^{s-1}$ étant une bijection croissante de $[0, +\infty[$ sur lui-même ; si $s = 1$, $-\ln \frac1n = \ln n$ ne l'est pas non plus.

Sur $[1, +\infty[$, le même calcul avec $\int_1^n$ donne $\frac{n^{1-s} - 1}{1 - s}$ et $\ln n$, bornés si et seulement si $s > 1$.

Comme $|x^{-\alpha}|^r = x^{-\alpha r}$, la fonction $x^{-1/r}\mathbf 1_{]0, 1]}$ est dans $L^p$ car $\frac pr < 1$, et pas dans $L^r$ ; la fonction $x^{-1/p}\mathbf 1_{[1, +\infty[}$ est dans $L^r$ car $\frac rp > 1$, et pas dans $L^p$.

Pour $r = +\infty$, la constante $1$ est dans $L^\infty$ et dans aucun $L^p$, $p$ fini, puisque $\lambda(\mathbb R) = +\infty$ ; et $x^{-1/(2p)}\mathbf 1_{]0, 1]}$ est dans $L^p$ sans être essentiellement bornée, puisqu'elle dépasse tout $M$ sur un intervalle non vide.

(iv) Si $r = +\infty$, $|f|^s = |f|^p|f|^{s-p} \leqslant \|f\|_\infty^{s-p}|f|^p$ presque partout. Si $r$ est fini, $|f|^s \leqslant |f|^p$ là où $|f| \leqslant 1$, et $|f|^s \leqslant |f|^r$ ailleurs (Puissances réelles, (vi)) ; donc $|f|^s \leqslant |f|^p + |f|^r$, que l'on intègre.