Théorie

Distributions et EDP

Une distribution sur un ouvert $\Omega$ de ${\mathbb R^n}$ est une forme linéaire sur les fonctions test, de classe $C^\infty$ à support compact, qui est continue au sens des suites. Les fonctions localement intégrables, la masse de Dirac et la valeur principale de $\frac1x$ en sont les premiers exemples. Toute distribution se dérive indéfiniment, la dérivée étant reportée sur la fonction test, et la dérivée de la fonction de Heaviside est la masse de Dirac.

La convolution par une fonction test régularise : $T * \rho_\varepsilon$ est une fonction de classe $C^\infty$, qui tend vers $T$. Dans $\mathbb R^3$, $-\frac1{4\pi|x|}$ est une solution élémentaire du laplacien, et sa convolution avec $f$ résout l'équation de Poisson $\Delta u = f$.

Le chapitre « Laplace et chaleur » étudie les fonctions harmoniques : propriété de la moyenne, régularité, principe du maximum, théorème de Liouville, lemme de Weyl, lien avec les fonctions holomorphes dans le plan, et problème de Dirichlet sur le disque par le noyau de Poisson. Il résout l'équation de la chaleur sur la droite par le noyau gaussien, et en établit l'unicité parmi les solutions bornées.

La théorie est placée après les équations différentielles, première théorie dont la mesure de Lebesgue sur $\mathbb R^n$ et la formule du changement de variables soient des ancêtres, et après la cohomologie de de Rham, qui fournit les fonctions plateau. L'analyse de Fourier n'en est pas un ancêtre : les distributions tempérées et leur transformée de Fourier ne sont qu'évoquées.