Multiplication par une fonction de classe C∞

(i) Si $\varphi_k \to \varphi$ dans ${\mathcal D}(\Omega)$, alors $a\varphi_k \to a\varphi$ (Fonctions test, (i)), et $\langle T, a\varphi_k\rangle \to \langle T, a\varphi\rangle$. La fonction $af$ est localement intégrable, $a$ étant bornée sur chaque compact, et $\langle T_f, a\varphi\rangle = \int (af)\varphi$. Enfin, la dérivée d'une distribution étant définie par $\langle \partial_j S, \varphi\rangle = -\langle S, \partial_j\varphi\rangle$ (Dérivation), et comme $a\,\partial_j\varphi = \partial_j(a\varphi) - (\partial_j a)\varphi$, $$\begin{aligned} \langle \partial_j(aT), \varphi\rangle &= -\langle T, a\,\partial_j\varphi\rangle \\ &= -\langle T, \partial_j(a\varphi)\rangle \\ &\quad + \langle T, (\partial_j a)\varphi\rangle \\ &= \langle a\,\partial_j T, \varphi\rangle \\ &\quad + \langle (\partial_j a)T, \varphi\rangle. \end{aligned}$$

(ii) $\langle a\delta_b, \varphi\rangle = a(b)\varphi(b)$, et $x\delta = 0$ en est le cas $b = 0$. Pour la valeur principale, l'intégrande $\frac{x\varphi(x)}x$ vaut $\varphi(x)$, et la limite qui la définit est $\int\varphi$ (Exemples de distributions, (iv)).

(iii) Lemme de division. Soit $\chi \in \mathcal D(\mathbb R)$ égale à $1$ sur un voisinage de $0$ (Fonctions test, (iii)). Pour $\varphi \in \mathcal D(\mathbb R)$, la fonction $g = \varphi - \varphi(0)\chi$ est une fonction test nulle en $0$. Par le théorème fondamental appliqué à $t \mapsto g(tx)$, $$g(x) = x\,\psi(x), \qquad \psi(x) = \int_0^1 g'(tx)\,dt.$$

La fonction $\psi$ est de classe $C^\infty$ (Schwarz, (ii), appliqué à $(t, x) \mapsto g'(tx)$, dont les dérivées en $x$, $t^k g^{(k+1)}(tx)$, sont continues). Pour $x \neq 0$, $\psi(x) = g(x)/x$ ; donc $\{\psi \neq 0\} \subset \{g \neq 0\} \cup \{0\}$, et $\operatorname{supp}\psi \subset \operatorname{supp} g \cup \{0\}$, qui est compact : $\psi \in \mathcal D(\mathbb R)$.

Conclusion. Si $xT = 0$, $$\begin{aligned} \langle T, \varphi\rangle &= \varphi(0)\langle T, \chi\rangle + \langle T, x\psi\rangle \\ &= \varphi(0)\langle T, \chi\rangle + \langle xT, \psi\rangle, \end{aligned}$$ c'est-à-dire $T = c\,\delta$ avec $c = \langle T, \chi\rangle$. La réciproque est (ii).

(iv) Par (ii), $x\big(\operatorname{vp}\frac1x + c\delta\big) = 1$. Si $xT = 1$, alors $x\big(T - \operatorname{vp}\frac1x\big) = 0$, et (iii) conclut.