Proposition 3Distributions et EDP

Dérivée d'une distribution

Soit $T \in {\mathcal D'}(\Omega)$ . Sa dérivée partielle $\partial_j T$ est la forme $\langle \partial_j T, \varphi\rangle = -\langle T, \partial_j\varphi\rangle.$ Pour un multi-indice $\alpha$ , on pose $\partial^\alpha T = \partial_1^{\alpha_1} \cdots \partial_n^{\alpha_n}T$ , si bien que $\langle \partial^\alpha T, \varphi\rangle = (-1)^{|\alpha|}\langle T, \partial^\alpha\varphi\rangle$ . Le laplacien est ${\Delta}T = \sum_j \partial_j^2 T$ ; pour une fonction $u$ de classe $C^2$ , $\Delta u = \sum_j \partial_j^2 u$ . Sur ${\mathbb R}$ , on écrit $T'$ pour $\partial_1 T$ .

La fonction de Heaviside est $H = \mathbf 1_{]0, +\infty[}$ , et $\operatorname{sgn}$ la fonction égale à $-1$ sur $]{-\infty}, 0[$ , à $1$ sur $]0, +\infty[$ et à $0$ en $0$ .

Énoncé

(i) $\partial_j T$ est une distribution ; $\partial_i\partial_j T = \partial_j\partial_i T$ ; et si $T_k \to T$ dans $\mathcal D'(\Omega)$ , alors $\partial_j T_k \to \partial_j T$ .

(ii) Compatibilité. Si $f$ est de classe $C^1$ sur $\Omega$ , $\partial_j T_f = T_{\partial_j f}$ . Par suite, pour $f$ de classe $C^k$ et $|\alpha| \leqslant k$ , $\partial^\alpha T_f = T_{\partial^\alpha f}$ , et $\Delta T_u = T_{\Delta u}$ pour $u$ de classe $C^2$ .

(iii) Formule des sauts. Soit $f : \mathbb R \to \mathbb R$ dont les restrictions à $]{-\infty}, 0[$ et à $]0, +\infty[$ sont de classe $C^1$ , et telle que $f$ et $f'$ aient des limites finies $f(0^\pm)$ et $f'(0^\pm)$ à droite et à gauche de $0$ . Alors $f$ et $f'$ , définie hors de $0$ , sont localement intégrables, et $(T_f)' = T_{f'} + \big(f(0^+) - f(0^-)\big)\,\delta.$

(iv) Exemples. $H' = \delta$ ; $|x|' = \operatorname{sgn}$ et $|x|'' = 2\delta$ ; $(\ln|x|)' = \operatorname{vp}\frac1x$ .

Démonstration

(i) Si $\varphi_k \to \varphi$ dans $\mathcal D(\Omega)$ , alors $\partial_j\varphi_k \to \partial_j\varphi$ (Fonctions test, (i)), et $\langle T, \partial_j\varphi_k\rangle \to \langle T, \partial_j\varphi\rangle$ : la forme linéaire $\partial_j T$ est une distribution. Le théorème de Schwarz pour $\varphi$ (Schwarz, (i)) donne la symétrie. Enfin $\langle \partial_j T_k, \varphi\rangle = -\langle T_k, \partial_j\varphi\rangle \to -\langle T, \partial_j\varphi\rangle$ .

(ii) La fonction $\partial_j f$ est continue, donc localement intégrable. L'intégration par parties (Intégrales à paramètre, (ii)) donne $\langle \partial_j T_f, \varphi\rangle = -\int_\Omega f\,\partial_j\varphi = \int_\Omega (\partial_j f)\,\varphi.$ La suite s'obtient par récurrence sur $|\alpha|$ .

(iii) Intégrabilité. $f$ et $f'$ sont boréliennes, continues sur chaque demi-droite ouverte, et bornées sur tout borné grâce aux limites en $0$ : elles sont localement intégrables.

Prolongement en $0$ . Soit $f_+$ la fonction égale à $f$ sur $]0, +\infty[$ et à $f(0^+)$ en $0$ . Pour $x > 0$ , l'égalité des accroissements finis (Égalité des accroissements finis) donne $c_x \in \,]0, x[$ tel que $\frac{f_+(x) - f_+(0)}x = f'(c_x)$ , qui tend vers $f'(0^+)$ : $f_+$ est de classe $C^1$ sur $[0, +\infty[$ . De même à gauche.

Intégration par parties. Soit $\varphi \in \mathcal D(\mathbb R)$ de support contenu dans $[-R, R]$ . Le théorème fondamental (Théorème fondamental) appliqué à $f_+\varphi$ sur $[0, R]$ donne $-\int_0^R f\varphi' = f(0^+)\,\varphi(0) + \int_0^R f'\varphi,$ et de même $-\int_{-R}^0 f\varphi' = -f(0^-)\,\varphi(0) + \int_{-R}^0 f'\varphi$ . La somme est la formule annoncée, évaluée sur $\varphi$ .

(iv) Pour $H$ , $f' = 0$ hors de $0$ et le saut vaut $1$ . Pour $|x|$ , $f' = \operatorname{sgn}$ hors de $0$ , sans saut ; pour $\operatorname{sgn}$ , $f' = 0$ et le saut vaut $2$ , d'où $|x|'' = \operatorname{sgn}' = 2\delta$ .

Le logarithme. La fonction $\ln|x|$ (Puissances réelles) est localement intégrable : pour $0 < \varepsilon < 1$ , $\int_\varepsilon^1 (-\ln x)\,dx = 1 - \varepsilon + \varepsilon\ln\varepsilon$ , et la convergence monotone (Convergence monotone) donne $\int_0^1 |\ln x|\,dx = 1$ , l'intégrale de Riemann d'une fonction continue sur un segment étant celle de Lebesgue (Riemann et Lebesgue).

Soit $\varphi$ de support dans $[-R, R]$ , et $\varepsilon = \frac1k$ . La convergence dominée donne $-\int \ln|x|\,\varphi'(x)\,dx = \lim_k I_k$ , où $I_k$ est l'intégrale sur $\{\varepsilon \leqslant |x| \leqslant R\}$ . Sur chacun des deux segments, l'intégration par parties donne $\begin{aligned} I_k &= \ln\varepsilon\,\big(\varphi(\varepsilon) - \varphi(-\varepsilon)\big) \\ &\quad + \Big(\int_{-R}^{-\varepsilon} + \int_\varepsilon^R\Big)\frac{\varphi(x)}x\,dx. \end{aligned}$ Le premier terme est majoré par $2\varepsilon|\ln\varepsilon|\,p_1(\varphi)$ . Comme $\ln z \leqslant z - 1$ pour $z \geqslant 1$ , par les accroissements finis, on a $|\ln\varepsilon| = 2\ln\varepsilon^{-1/2} \leqslant 2\varepsilon^{-1/2}$ , donc $\varepsilon|\ln\varepsilon| \leqslant 2\sqrt\varepsilon \to 0$ . Le second terme tend vers $\langle \operatorname{vp}\frac1x, \varphi\rangle$ (Exemples de distributions, (iv)).

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Remarque

L'erreur la plus répandue est de confondre la dérivée au sens des distributions avec la dérivée presque partout. La fonction $H$ est dérivable hors de $0$ , de dérivée nulle : sa dérivée presque partout est $0$ . Sa dérivée au sens des distributions est $\delta$ , qui n'est pas nulle : elle garde la trace du saut, que la dérivée presque partout oublie.

En haut, la fonction

|x|

; au milieu, sa dérivée

\operatorname{sgn}

, qui saute de

-1

1

0

; en bas, la dérivée de

\operatorname{sgn}

, qui est nulle hors de

0

et égale à

2\delta

, dessinée par une flèche rouge de hauteur

2

, la hauteur du saut. Chaque dérivation au sens des distributions transforme un coin en saut, puis un saut en masse de Dirac.

Remarque

Toute distribution est indéfiniment dérivable, alors qu'une fonction continue peut n'être dérivable nulle part. C'est la force de la définition : la dérivée est transférée sur la fonction test, qui en a autant qu'on veut. Le prix est que la dérivée d'une fonction n'est plus, en général, une fonction.

Remarque

Pour $\varphi(x) = e^{-x^2}(1 + x)$ , qui n'est pas à support compact mais décroît assez vite pour que les calculs aient un sens, on trouve $-\int_{\mathbb R}\ln|x|\,\varphi'(x)\,dx = \int_0^\infty \frac{\varphi(x) - \varphi(-x)}x\,dx = 2\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt\pi \approx 1{,}7725$ , valeur vérifiée par un calcul numérique des deux membres. La partie paire de $\varphi$ ne compte pas : la valeur principale ne voit que la partie impaire.

Repose sur

Fonctions localement intégrables, masse de Dirac, valeur principale

Sert à

Distributions de dérivée nulle et primitives en dimension 1 Multiplication par une fonction de classe C∞Support d'une distribution Convolution d'une distribution par une fonction test