Support d'une distribution

(i) Un recouvrement fini. Soit $\varphi \in \mathcal D(\bigcup_i \omega_i)$, de support $K$. Si $K$ est vide, $\varphi = 0$. Sinon $K$ est compact et recouvert par les $\omega_i$ : il existe $i_1, \dots, i_m$ tels que $K \subset \omega_{i_1} \cup \cdots \cup \omega_{i_m}$. Écrivons $\omega'_j = \omega_{i_j}$.

Des compacts adaptés. Soit $\delta_j(x) = \min\big(1, \inf_{a \notin \omega'_j}\|x - a\|_\infty\big)$, avec $\delta_j = 1$ si $\omega'_j = \mathbb R^n$. Chaque $\delta_j$ est $1$-lipschitzienne et strictement positive sur $\omega'_j$ (Recouvrement par des cubes, (i)). La fonction $\max_j \delta_j$ est continue et strictement positive sur $K$ ; elle y atteint un minimum $\eta > 0$ (Compacts de ℝ, (iii)).

Les ensembles $K_j = \{x \in K : \delta_j(x) \geqslant \eta\}$ sont fermés dans $K$, donc compacts ; ils sont contenus dans $\omega'_j$, où $\delta_j > 0$, et recouvrent $K$.

Une partition. Soit $\zeta_j \in \mathcal D(\omega'_j)$, à valeurs dans $[0, 1]$, égale à $1$ sur $K_j$ (Fonctions test, (iii)). Posons $\chi_1 = \zeta_1$ et $\chi_j = \zeta_j\prod_{l < j}(1 - \zeta_l)$. Par récurrence sur $m$, $$1 - \sum_{j=1}^m \chi_j = \prod_{j=1}^m (1 - \zeta_j),$$ qui est nul sur $K$, chaque point de $K$ étant dans un $K_j$.

Conclusion. Ainsi $\varphi = \sum_j \chi_j\varphi$, et $\chi_j\varphi \in \mathcal D(\omega'_j)$, son support étant contenu dans celui de $\zeta_j$. Donc $\langle T, \varphi\rangle = \sum_j \langle T, \chi_j\varphi\rangle = 0$.

(ii) Par (i), $T$ s'annule sur la réunion $\Omega \setminus \operatorname{supp} T$ des ouverts où elle s'annule, qui est donc le plus grand d'entre eux ; $\operatorname{supp} T$ est fermé dans $\Omega$ comme complémentaire d'un ouvert. Si $\operatorname{supp}\varphi$ ne rencontre pas $\operatorname{supp} T$, $\varphi \in \mathcal D(\Omega \setminus \operatorname{supp} T)$, et $\langle T, \varphi\rangle = 0$. Si $T$ s'annule sur $\omega$ et $\varphi \in \mathcal D(\omega)$, alors $\partial^\alpha\varphi \in \mathcal D(\omega)$ et $\langle \partial^\alpha T, \varphi\rangle = \pm\langle T, \partial^\alpha\varphi\rangle = 0$, par la définition de la dérivée d'une distribution (Dérivation).

(iii) Fonctions. $T_f$ s'annule sur $\omega$ si et seulement si $f = 0$ sur $\omega$, par le nœud Exemples de distributions, (ii), appliqué sur $\omega$. Le plus grand tel ouvert est le complémentaire de l'adhérence de $\{f \neq 0\}$.

Dirac. $\delta_a$ s'annule sur $\Omega \setminus \{a\}$. Sur un ouvert $\omega$ contenant $a$, elle ne s'annule pas : pour $\varepsilon$ petit, $x \mapsto \rho_\varepsilon(x - a)$ est dans $\mathcal D(\omega)$ et vaut $\rho_\varepsilon(0) > 0$ en $a$.

Valeur principale. Si $x_0 \neq 0$ et $\varphi \geqslant 0$ est une fonction test non nulle, de support contenu dans un intervalle autour de $x_0$ qui ne contient pas $0$, alors $\langle \operatorname{vp}\frac1x, \varphi\rangle = \int \frac{\varphi(x)}x\,dx \neq 0$. Tout $x_0 \neq 0$ est donc dans le support, qui est fermé et contient alors $0$.