Fonctions localement intégrables, masse de Dirac, valeur principale

(i) Si $\operatorname{supp}\varphi \subset K$, la fonction $f\varphi$ est borélienne et majorée par $p_0(\varphi)\,|f|\,\mathbf 1_K$, d'où $$|T_f(\varphi)| \leqslant \Big(\int_K |f|\Big)\,p_0(\varphi).$$ La forme est linéaire (Fonctions intégrables, (i)), et le nœud Distributions, (i), conclut.

(ii) Pavés ouverts. Soit $Q = \prod_l \,]a_l, b_l[$ un pavé ouvert d'adhérence contenue dans $\Omega$, et $$\varphi_k(x) = \prod_{l=1}^n \sigma\big(k(x_l - a_l)\big)\,\sigma\big(k(b_l - x_l)\big),$$ avec la fonction $\sigma$ du nœud Fonctions test, (iii). Elle est de classe $C^\infty$, à valeurs dans $[0, 1]$, nulle hors de $Q$, donc $\varphi_k \in \mathcal D(\Omega)$. Si $x \in Q$, tous les facteurs valent $1$ dès que $k$ dépasse $1/(x_l - a_l)$ et $1/(b_l - x_l)$ ; si $x \notin Q$, l'un d'eux est nul. Ainsi $\varphi_k \to \mathbf 1_Q$ simplement, avec $|f\varphi_k| \leqslant |f|\,\mathbf 1_{\bar Q}$, et la convergence dominée (Convergence dominée, (i)) donne $\int_Q f = 0$.

Un pavé fixé. Soit $C = \prod_l \,]c_l, d_l]$ un pavé d'adhérence contenue dans $\Omega$, et $\mathcal C$ l'ensemble des boréliens $A \subset C$ tels que $\int_A f = 0$. Un pavé $]a, b] \subset C$ est l'intersection décroissante des pavés ouverts $\prod_l \,]a_l, b_l + \frac1k[$, d'adhérences contenues dans $\Omega$ pour $k$ grand (Fonctions test, (iv)) : par convergence dominée, il appartient à $\mathcal C$.

$\mathcal C$ contient $C$, est stable par différence $B \setminus A$ avec $A \subset B$, par linéarité de l'intégrale, et par réunion croissante, par convergence dominée : c'est une classe monotone. Les pavés contenus dans $C$ et le vide forment un π-système, qui engendre les boréliens de $C$. En effet, l'ensemble des boréliens $B$ de $\mathbb R^n$ tels que $B \cap C$ appartienne à la tribu engendrée par ce π-système est une tribu (Tribus), qui contient les pavés, l'intersection d'un pavé avec $C$ étant un pavé ou le vide ; elle contient donc $\mathcal B(\mathbb R^n)$ (Lebesgue sur ℝⁿ, (i)). Le lemme de Dynkin (Classes monotones, (i)) donne $\mathcal C = \mathcal B(C)$.

Pour $A = C \cap \{f > 0\}$, on a $\int f\,\mathbf 1_A = 0$ avec $f\,\mathbf 1_A \geqslant 0$, donc $f\,\mathbf 1_A = 0$ presque partout (Intégrale positive, (iv)) et $\lambda(A) = 0$. De même pour $\{f < 0\}$ : $f = 0$ presque partout sur $C$.

Conclusion. Comme dans la preuve du nœud Lebesgue sur ℝⁿ, (i), $\Omega$ est la réunion des pavés à extrémités rationnelles dont l'adhérence est contenue dans $\Omega$, famille dénombrable définie sans choix ; une réunion dénombrable d'ensembles négligeables l'est. Si $f$ et $g$ sont continues et égales presque partout, l'ouvert $\{f \neq g\}$ est négligeable ; s'il contenait un point, il contiendrait une boule, donc un cube inscrit de côté non nul, de mesure non nulle (Lebesgue sur ℝⁿ, (iv)).

(iii) Ordre $0$. $|\varphi(a)| \leqslant p_0(\varphi)$.

Ce n'est pas une fonction. Soit $r > 0$ tel que $\bar B(a, r) \subset \Omega$, et $\varphi_k(x) = \tilde\rho\big(k(x - a)/r\big)$, avec la fonction $\tilde\rho$ du nœud Fonctions test. Alors $\varphi_k \in \mathcal D(\Omega)$, $\varphi_k(a) = \theta(1) > 0$, $\varphi_k(x) \to 0$ pour $x \neq a$, et $|f\varphi_k| \leqslant \theta(1)\,|f|\,\mathbf 1_{\bar B(a, r)}$. Si l'on avait $\delta_a = T_f$, la convergence dominée donnerait $\theta(1) = \int f\varphi_k \to 0$, ce qui est absurde.

(iv) Symétrisation. Le changement de variable $x \mapsto -x$ dans l'intégrale sur $[-R, -\varepsilon]$ donne $$\begin{aligned} &\Big(\int_{-R}^{-\varepsilon} + \int_\varepsilon^R\Big)\frac{\varphi(x)}x\,dx = \int_\varepsilon^R g(x)\,dx, \\ &g(x) = \frac{\varphi(x) - \varphi(-x)}x. \end{aligned}$$

Prolongement. Par l'inégalité des accroissements finis (Inégalité des accroissements finis, (ii)), $|\varphi(x) - \varphi(-x)| \leqslant 2x\,p_1(\varphi)$, donc $|g| \leqslant 2p_1(\varphi)$. De plus $$\begin{aligned} g(x) &= \frac{\varphi(x) - \varphi(0)}x + \frac{\varphi(-x) - \varphi(0)}{-x} \\ &\longrightarrow 2\varphi'(0). \end{aligned}$$ Prolongée par $g(0) = 2\varphi'(0)$, $g$ est continue sur $[0, R]$, donc intégrable au sens de Riemann (Fonctions continues, (ii)), et $\big|\int_0^\varepsilon g\big| \leqslant 2\varepsilon\,p_1(\varphi) \to 0$ : la limite existe et vaut $\int_0^R g$. Remplacer $R$ par $R' > R$ ajoute l'intégrale de $g$ sur $[R, R']$, où $g$ est nulle.

Distribution. La forme est linéaire, et, si $\operatorname{supp}\varphi \subset [-R, R]$, $|\langle \operatorname{vp}\frac1x, \varphi\rangle| \leqslant R\sup|g| \leqslant 2R\,p_1(\varphi)$. Le nœud Distributions, (i), conclut.

(v) Comme $\rho_\varepsilon$ est paire, $\langle \rho_\varepsilon, \varphi\rangle = \int \varphi(y)\,\rho_\varepsilon(0 - y)\,dy = (\varphi * \rho_\varepsilon)(0)$, qui tend vers $\varphi(0)$ par le nœud Régularisation, (ii), appliqué au compact $\{0\}$.